（2014）设常数a使方程 sin x + 3 cos x…——2014 高考数学第 12 题答案解析

将方程左边利用辅助角公式化简：
$$ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) $$
原方程等价于：
$$ 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = a \implies \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{a}{2} $$
令 $t = x + \frac{\pi}{3}$。因为 $x \in [0, 2\pi]$，所以 $t \in [\frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}]$。
问题转化为：关于 $t$ 的方程 $\sin t = \frac{a}{2}$ 在区间 $[\frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}]$ 上恰有三个解。

分析函数 $y = \sin t$ 在 $[\frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}]$ 上的图像性质：
1. 当 $t = \frac{\pi}{3}$ 时，$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. 当 $t$ 从 $\frac{\pi}{3}$ 增加到 $\frac{\pi}{2}$ 时，$\sin t$ 从 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 增至 $1$。
3. 当 $t$ 从 $\frac{\pi}{2}$ 增加到 $\frac{3\pi}{2}$ 时，$\sin t$ 从 $1$ 减至 $-1$。
4. 当 $t$ 从 $\frac{3\pi}{2}$ 增加到 $\frac{7\pi}{3}$（即 $2\pi + \frac{\pi}{3}$）时，$\sin t$ 从 $-1$ 增至 $\frac{\sqrt{3}}{2}$。

要使直线 $y = \frac{a}{2}$ 与曲线 $y = \sin t$ 在该区间内恰有三个交点，观察图像可知，常数 $\frac{a}{2}$ 必须等于区间端点的函数值，即：
$$ \frac{a}{2} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies a = \sqrt{3} $$
此时，方程 $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 在 $[\frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}]$ 上的解为：
1. $t_1 = \frac{\pi}{3}$ （左端点）
2. $t_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ （第二象限对称点）
3. $t_3 = 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$ （右端点，因周期性 $\sin(\frac{7\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$）

注意：若 $\frac{a}{2} = 1$，则只有 $t=\frac{\pi}{2}$ 一个解（在峰值处相切，且下一个峰值 $2\pi+\frac{\pi}{2}$ 超出范围或需具体判断，此处 $5\pi/2 > 7\pi/3$，故仅一解）；若 $\frac{\sqrt{3}}{2} < \frac{a}{2} < 1$，则有四个解（两个在上升段，两个在下降段，或者根据对称性分析，通常正弦曲线在非极值非端点水平线与一个完整周期加部分区间相交可能产生2或4个解，此处端点值特殊）。唯有取端点值时，其中一个解重合于边界或恰好构成三个 distinct 解。在此题区间长度为一个周期 $2\pi$，且起始相位非零点，当水平线高度等于起始/终止高度时，分别取到起点、中间对称点、终点，共3个解。

对应的 $x$ 值为：
$$ x_1 = t_1 - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = 0 $$
$$ x_2 = t_2 - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} $$
$$ x_3 = t_3 - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = 2\pi $$

这三个解均在 $[0, 2\pi]$ 范围内，且互不相同。
求和：
$$ x_1 + x_2 + x_3 = 0 + \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} $$