（12分）（2009•陕西）如图所示，在直三棱柱 A B…——2009 高考数学第 19 题答案解析

（1）证明：
因为三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 为直三棱柱，所以侧棱 $AA_1 \perp$ 底面 $ABC$。
又 $AB \subset$ 平面 $ABC$，所以 $AA_1 \perp AB$。

在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB=1, AC=\sqrt{3}, \angle ABC = 60^{\circ}$。
由正弦定理 $\frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{AB}{\sin \angle ACB}$，得：
$\sin \angle ACB = \frac{AB \cdot \sin \angle ABC}{AC} = \frac{1 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$。
因为 $AC > AB$，所以 $\angle ABC > \angle ACB$，故 $\angle ACB = 30^{\circ}$。
从而 $\angle BAC = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ}$，即 $AB \perp AC$。

因为 $AB \perp AC$，$AB \perp AA_1$，且 $AC \cap AA_1 = A$，$AC, AA_1 \subset$ 平面 $ACC_1A_1$，
所以 $AB \perp$ 平面 $ACC_1A_1$。
又因为 $A_1C \subset$ 平面 $ACC_1A_1$，
所以 $AB \perp A_1C$。

（2）解：
如图，过点 $A$ 作 $AD \perp A_1C$ 于点 $D$，连接 $BD$。
由（1）知 $AB \perp$ 平面 $ACC_1A_1$，且 $A_1C \subset$ 平面 $ACC_1A_1$，所以 $AB \perp A_1C$。
又 $AD \perp A_1C$，$AB \cap AD = A$，
所以 $A_1C \perp$ 平面 $ABD$。
因为 $BD \subset$ 平面 $ABD$，所以 $A_1C \perp BD$。
故 $\angle ADB$ 即为二面角 $A-A_1C-B$ 的平面角。

在 Rt$\triangle AA_1C$ 中，$AA_1 = \sqrt{3}, AC = \sqrt{3}$，
所以 $A_1C = \sqrt{AA_1^2 + AC^2} = \sqrt{3+3} = \sqrt{6}$。
由等面积法或射影定理可得斜边上的高 $AD$：
$AD = \frac{AA_1 \cdot AC}{A_1C} = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$。

在 Rt$\triangle ABD$ 中（因 $AB \perp$ 平面 $ACC_1A_1$，故 $AB \perp AD$），
$AB=1, AD=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
由勾股定理得 $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + (\frac{\sqrt{6}}{2})^2} = \sqrt{1 + \frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$。

所以 $\cos \angle ADB = \frac{AD}{BD} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$。
即二面角 $A-A_1C-B$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$。