2011_quanguo_old_ii
11．（15分）如图，两根足够长的金属导轨ab、cd竖直放置，导轨间距离为 $\mathrm { { L } } _ { 1 }$ 电阻不计。在导轨上端并接两个额定功率均为P、电阻均为R的小灯泡。整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直。现将一质量为m、电阻可以忽略的金属棒MN从图示位置由静止开始释放。金属棒下落过程中保持水平，且与导轨接触良好。已知某时刻后两灯泡保持正常发光。重力加速度为g。求：
（1）磁感应强度的大小：
（2）灯泡正常发光时导体棒的运动速率。
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（1）金属棒MN下落过程中，当两灯泡保持正常发光时，说明电路中的电流和电压达到稳定值，此时金属棒受力平衡，做匀速直线运动。
设每个灯泡的额定电流为 $I_0$，根据功率公式 $P = I_0^2 R$，可得：
$I_0 = \sqrt{\frac{P}{R}}$
由于两个灯泡并联，流过金属棒MN的总电流 $I$ 为两灯泡电流之和：
$I = 2I_0 = 2\sqrt{\frac{P}{R}}$
金属棒匀速运动时，重力与安培力平衡，即：
$mg = F_{\text{安}} = BIL$
将 $I$ 代入上式得：
$mg = B \cdot 2\sqrt{\frac{P}{R}} \cdot L$
解得磁感应强度大小为：
$B = \frac{mg}{2L\sqrt{\frac{P}{R}}} = \frac{mg}{2L}\sqrt{\frac{R}{P}}$
（2）灯泡正常发光时，其两端电压等于额定电压 $U$。根据功率公式 $P = \frac{U^2}{R}$，可得灯泡两端电压：
$U = \sqrt{PR}$
由于金属棒电阻忽略不计，金属棒产生的感应电动势 $E$ 等于路端电压，即：
$E = U = \sqrt{PR}$
根据法拉第电磁感应定律，导体切割磁感线产生的电动势为：
$E = BLv$
联立上述各式，有：
$BLv = \sqrt{PR}$
将第（1）问求得的 $B = \frac{mg}{2L}\sqrt{\frac{R}{P}}$ 代入上式：
$\left( \frac{mg}{2L}\sqrt{\frac{R}{P}} \right) L v = \sqrt{PR}$
化简得：
$\frac{mg}{2} \sqrt{\frac{R}{P}} v = \sqrt{PR}$
$v = \frac{2\sqrt{PR}}{mg\sqrt{\frac{R}{P}}} = \frac{2\sqrt{PR} \cdot \sqrt{P}}{mg\sqrt{R}} = \frac{2P}{mg}$
故灯泡正常发光时导体棒的运动速率为 $\frac{2P}{mg}$。