如图，在三棱锥 P-A B C 中， A B B C, A…——2023 高考数学第 19 题答案解析

（1）证明：
在 $\triangle ABC$ 中，因为 $AB \perp BC$，所以 $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$。
设 $\overrightarrow{AF} = t \overrightarrow{AC}$，则 $\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{BA} + t(\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}) = (1-t)\overrightarrow{BA} + t\overrightarrow{BC}$。
又 $O$ 为 $BC$ 中点，故 $\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{BO} - \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}$。
由 $BF \perp AO$，得 $\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{AO} = 0$，即：
$$ [(1-t)\overrightarrow{BA} + t\overrightarrow{BC}] \cdot (\frac{1}{2}\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}) = 0 $$
展开得：
$$ -(1-t)|\overrightarrow{BA}|^2 + \frac{1}{2}(1-t)\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}t\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA} - t|\overrightarrow{BC}|^2 = 0 $$
代入 $|\overrightarrow{BA}|=2, |\overrightarrow{BC}|=2\sqrt{2}, \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0$：
$$ -(1-t) \times 4 - t \times (2\sqrt{2})^2 = 0 \implies -4 + 4t - 8t = 0 \implies -4t = 4 \implies t = \frac{1}{2} $$
所以 $F$ 为 $AC$ 的中点。

因为 $D, E$ 分别为 $PB, PA$ 的中点，所以 $DE$ 为 $\triangle PAB$ 的中位线，故 $DE // AB$ 且 $DE = \frac{1}{2}AB$。
因为 $O, F$ 分别为 $BC, AC$ 的中点，所以 $OF$ 为 $\triangle ABC$ 的中位线，故 $OF // AB$ 且 $OF = \frac{1}{2}AB$。
由此可得 $DE // OF$ 且 $DE = OF$，所以四边形 $ODEF$ 为平行四边形，故 $EF // DO$。
又因为 $EF \not\subset$ 平面 $ADO$，$DO \subset$ 平面 $ADO$，
所以 $EF //$ 平面 $ADO$。

（2）解：
因为 $PB=PC=\sqrt{6}$，$O$ 为 $BC$ 中点，所以 $PO \perp BC$。
在 Rt$\triangle POB$ 中，$OB = \frac{1}{2}BC = \sqrt{2}$，
所以 $PO = \sqrt{PB^2 - OB^2} = \sqrt{6 - 2} = 2$。

由（1）知 $OF // AB$，又 $AB \perp BC$，所以 $OF \perp BC$。
因为 $PO \cap OF = O$，且 $PO, OF \subset$ 平面 $POF$，所以 $BC \perp$ 平面 $POF$。
过点 $P$ 作 $PM \perp FO$ 交 $FO$ 的延长线于点 $M$。
因为 $PM \subset$ 平面 $POF$，所以 $BC \perp PM$。
又 $PM \perp FO$（即 $PM \perp FM$），且 $BC \cap FM = O$，$BC, FM \subset$ 平面 $ABC$，
所以 $PM \perp$ 平面 $ABC$，即 $PM$ 为三棱锥 $P-ABC$ 的高。

在平面 $POF$ 中，已知 $\angle POF = 120^\circ$，则 $\angle POM = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$。
在 Rt$\triangle PMO$ 中，$PM = PO \sin 60^\circ = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。

$\triangle ABC$ 的面积 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$。
所以三棱锥 $P-ABC$ 的体积：
$$ V_{P-ABC} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot PM = \frac{1}{3} \times 2\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3} $$