（本小题满分 12 分） 已知 a_ n 是公差不为零的等…——2010 高考数学第 16 题答案解析

（I）设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。
由题意知 $a_1=1$，且 $d \neq 0$。
因为 $a_1, a_3, a_9$ 成等比数列，根据等比中项的性质，有 $a_3^2 = a_1 \cdot a_9$。
将通项公式代入，得：
$(a_1 + 2d)^2 = a_1 (a_1 + 8d)$
即 $(1 + 2d)^2 = 1 \cdot (1 + 8d)$
展开整理得：
$1 + 4d + 4d^2 = 1 + 8d$
$4d^2 - 4d = 0$
$4d(d - 1) = 0$
解得 $d=0$ 或 $d=1$。
因为公差 $d \neq 0$，所以舍去 $d=0$，取 $d=1$。
故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为：
$a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + (n-1) \times 1 = n$。

（II）由（I）可知 $a_n = n$，所以数列 $\{2^{a_n}\}$ 即为 $\{2^n\}$。
该数列的首项为 $2^1=2$，公比 $q=2$。
根据等比数列前 $n$ 项和公式 $S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，可得：
$S_n = \frac{2(1-2^n)}{1-2} = \frac{2 - 2^{n+1}}{-1} = 2^{n+1} - 2$。