（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血…——2008 高考数学第 20 题答案解析

设 $X$ 为方案甲所需化验次数，$Y$ 为方案乙所需化验次数。

方案甲中，患病动物在化验顺序中的位置等可能。若它排在第 $1,2,3$ 位，则分别需 $1,2,3$ 次；若排在第 $4$ 或第 $5$ 位，则前 $3$ 次均为阴性，第 $4$ 次化验后必能确定患病动物，故需 $4$ 次。因此
$P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=\dfrac15$，$P(X=4)=\dfrac25$。

方案乙中，先任选 $3$ 只混检。患病动物被选入这 $3$ 只的概率为 $\dfrac35$，未被选入的概率为 $\dfrac25$。

若未被选入，则混检阴性，再在另外 $2$ 只中验 $1$ 次即可确定，$Y=2$。

若被选入，则混检阳性，再在这 $3$ 只中逐个化验。若第一次就验中患病动物，则 $Y=2$，概率为 $\dfrac13$；若第一次未验中，则第二次化验后可确定，$Y=3$，概率为 $\dfrac23$。

所以
$P(Y=2)=\dfrac25+\dfrac35\cdot\dfrac13=\dfrac35$，
$P(Y=3)=\dfrac35\cdot\dfrac23=\dfrac25$。

由于两方案的随机化验选择互不影响，且 $Y$ 只可能为 $2$ 或 $3$，所求概率为
$P(X\ge Y)=P(Y=2)P(X\ge2)+P(Y=3)P(X\ge3)$。

其中
$P(X\ge2)=1-\dfrac15=\dfrac45$，
$P(X\ge3)=1-\dfrac15-\dfrac15=\dfrac35$。

代入得
$P(X\ge Y)=\dfrac35\cdot\dfrac45+\dfrac25\cdot\dfrac35=\dfrac{12}{25}+\dfrac{6}{25}=\dfrac{18}{25}$。