**① 的证明：**
要使 $a^2, b^2, c^2$ 成等差数列，需满足 $a^2 + c^2 = 2b^2$。
注意到 $1^2, 5^2, 7^2$ 满足 $1 + 49 = 2 \times 25$，即构成等差数列。
对任意正整数 $a$，取 $b = 5a$，$c = 7a$，则：
$$a^2 + c^2 = a^2 + 49a^2 = 50a^2 = 2 \cdot 25a^2 = 2b^2$$
且 $b < c$（因为 $5a < 7a$），故命题成立。
**② 的证明：**
由 $a_n^2, b_n^2, c_n^2$ 成等差数列，得：
$$b_n^2 - a_n^2 = c_n^2 - b_n^2$$
即 $(b_n + a_n)(b_n - a_n) = (c_n + b_n)(c_n - b_n)$。
将 $4n(n^2-1)$ 作两种因式分解：
$$4n(n^2-1) = (2n-2)(2n^2+2n) = (2n^2-2n)(2n+2)$$
对比上式结构，令：
$$\begin{cases} b_n + a_n = 2n^2 + 2n \\ b_n - a_n = 2n - 2 \end{cases} \quad \text{及} \quad \begin{cases} c_n + b_n = 2n^2 - 2n \\ c_n - b_n = 2n + 2 \end{cases}$$
解得（对 $n \geq 4$）：
$$a_n = n^2 - 2n - 1, \quad b_n = n^2 + 1, \quad c_n = n^2 + 2n - 1$$
**验证等差数列条件：**
$$a_n^2 + c_n^2 = (n^2-2n-1)^2 + (n^2+2n-1)^2$$
展开计算：
$$(n^2-1-2n)^2 + (n^2-1+2n)^2 = 2[(n^2-1)^2 + 4n^2] = 2(n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2) = 2(n^4 + 2n^2 + 1) = 2(n^2+1)^2 = 2b_n^2$$
故 $a_n^2, b_n^2, c_n^2$ 成等差数列。
**验证构成三角形（$n \geq 4$）：**
- 各边为正：$a_n = n^2 - 2n - 1 = (n-1)^2 - 2 > 0$（当 $n \geq 4$ 时）。
- 三角不等式：显然 $a_n < b_n < c_n$，只需验证 $a_n + b_n > c_n$：
$$a_n + b_n - c_n = (n^2-2n-1) + (n^2+1) - (n^2+2n-1) = n^2 - 4n + 1$$
当 $n \geq 4$ 时，$n^2 - 4n + 1 = (n-2)^2 - 3 \geq 4 - 3 = 1 > 0$，故能构成三角形。
**验证互不相似：**
设 $\triangle_m$ 与 $\triangle_n$ 相似（$m, n \geq 4$），则三边对应成比例：
$$\frac{m^2 - 2m - 1}{n^2 - 2n - 1} = \frac{m^2 + 1}{n^2 + 1} = \frac{m^2 + 2m - 1}{n^2 + 2n - 1}$$
由合分比性质，第一、三个比的分子之差与分母之比等于中间比：
$$\frac{(m^2+2m-1)-(m^2-2m-1)}{(n^2+2n-1)-(n^2-2n-1)} = \frac{4m}{4n} = \frac{m}{n}$$
同时该比值应等于 $\dfrac{m^2+1}{n^2+1}$，故：
$$\frac{m}{n} = \frac{m^2+1}{n^2+1}$$
交叉相乘得 $m(n^2+1) = n(m^2+1)$，即 $mn^2 + m = nm^2 + n$，整理为：
$$mn(n-m) = n - m$$
若 $m \neq n$，两边除以 $(n-m)$ 得 $mn = -1$，但 $m, n \geq 4$ 为正整数，矛盾。
故 $m = n$，即不同的 $n$ 值对应的三角形互不相似。由于 $n$ 可取无穷多个正整数（$n \geq 4$），因此存在无穷多个互不相似的满足条件的三角形。