甲、乙两列简谐横波在同一介质中分别沿 x 轴正向和负向传播…——2015 高考物理第 16 题答案解析

由图可知，甲、乙两列波的振幅均为 $A=8\text{cm}$，波长分别为 $\lambda_1=50\text{cm}$，$\lambda_2=60\text{cm}$。两列波在同一介质中传播，波速均为 $v=25\text{cm/s}$。

① 当两列波的波峰相遇时，质点的位移为两波振幅之和，即 $y = A+A = 16\text{cm}$。
$t=0$ 时，甲波波峰的坐标满足：
$x_1 = 50 + k_1 \lambda_1 = 50 + 50k_1 \quad (k_1 = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)$
乙波波峰的坐标满足：
$x_2 = 50 + k_2 \lambda_2 = 50 + 60k_2 \quad (k_2 = 0, \pm 1, \pm 2, \dots)$
两波波峰相遇，即 $x_1 = x_2$，则有：
$50 + 50k_1 = 50 + 60k_2 \implies 5k_1 = 6k_2$
由于 5 和 6 互质，故 $k_1$ 必须是 6 的倍数，$k_2$ 必须是 5 的倍数。设 $k_1 = 6n$（$n$ 为整数），代入 $x_1$ 的表达式得所有波峰相遇点的坐标为：
$x = 50 + 50(6n) = 50 + 300n \quad (\text{cm})$
即 $x=(50+300n)\text{cm} \quad (n=0, \pm 1, \pm 2, \dots)$

② 当两列波的波谷相遇时，质点的位移为 $y = -A-A = -16\text{cm}$。
$t=0$ 时，甲波波谷的坐标通式为：
$x_{1\text{谷}} = 50 + (2m_1+1)\frac{\lambda_1}{2} = 50 + 25(2m_1+1) \quad (m_1 \in \mathbb{Z})$
乙波波谷的坐标通式为：
$x_{2\text{谷}} = 50 + (2m_2+1)\frac{\lambda_2}{2} = 50 + 30(2m_2+1) \quad (m_2 \in \mathbb{Z})$
两列波相向传播，相对速度为 $2v$。要使介质中最早出现位移为 $-16\text{cm}$ 的质点，需寻找 $t=0$ 时刻距离最近的一对甲、乙波谷，计算它们相遇所需的时间。
两波谷间的距离 $\Delta x$ 为：
$\Delta x = |x_{2\text{谷}} - x_{1\text{谷}}| = |30(2m_2+1) - 25(2m_1+1)| = |60m_2 - 50m_1 + 5|$
$\Delta x = |10(6m_2 - 5m_1) + 5|$
令 $K = 6m_2 - 5m_1$，由于 $m_1, m_2$ 为整数，$K$ 也为整数。
要使 $\Delta x$ 最小且不为 0（若为 0 则 $t=0$ 时已存在，但观察图形，$t=0$ 时 $x=50$ 处为波峰相遇，非波谷），我们需要 $10K + 5$ 的绝对值最小。
当 $K=0$ 时，$\Delta x = 5\text{cm}$；
当 $K=-1$ 时，$\Delta x = |-10+5| = 5\text{cm}$；
其他整数值 $K$ 均使 $\Delta x \ge 15\text{cm}$。
因此，最近的两个波谷间距 $\Delta x_{\min} = 5\text{cm}$。
最早出现位移为 $-16\text{cm}$ 的时间为：
$t = \frac{\Delta x_{\min}}{2v} = \frac{5}{2 \times 25}\text{s} = \frac{5}{50}\text{s} = 0.1\text{s}$