（13分）已知函数 ~ f ~ ( ~ x ~ ) = s…——2018 高考数学第 16 题答案解析

（Ⅰ）对函数 $f(x)$ 进行恒等变形：
$$ \begin{aligned} f(x) &= \sin^2 x + \sqrt{3}\sin x \cos x \\ &= \frac{1-\cos 2x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2} \\ &= \sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2} \end{aligned} $$
由周期公式 $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$，其中 $\omega=2$，得 $f(x)$ 的最小正周期 $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 $f(x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2}$。
因为 $x \in [-\frac{\pi}{3}, m]$，所以 $2x - \frac{\pi}{6} \in [-\frac{5\pi}{6}, 2m - \frac{\pi}{6}]$。
令 $t = 2x - \frac{\pi}{6}$，则问题转化为：在区间 $[-\frac{5\pi}{6}, 2m - \frac{\pi}{6}]$ 上，函数 $y = \sin t + \frac{1}{2}$ 的最大值为 $\frac{3}{2}$。
即 $\sin t$ 在该区间上的最大值为 $1$。
正弦函数 $\sin t$ 在 $t = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ 时取得最大值 $1$。
考察区间左端点 $-\frac{5\pi}{6}$，其右侧第一个使 $\sin t = 1$ 的值为 $t = \frac{\pi}{2}$。
为了使最大值为 $1$，区间右端点 $2m - \frac{\pi}{6}$ 必须至少达到 $\frac{\pi}{2}$。
即 $2m - \frac{\pi}{6} \ge \frac{\pi}{2}$，
解得 $2m \ge \frac{2\pi}{3}$，即 $m \ge \frac{\pi}{3}$。
故 $m$ 的最小值为 $\frac{\pi}{3}$。