直三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C_ 1 中，…——2022 高考数学第 17 题答案解析

由题意，在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$AA_1 \perp$ 平面 $A_1B_1C_1$，所以 $AA_1 \perp A_1B_1, AA_1 \perp A_1C_1$。
又已知 $AC \perp AB$，则 $A_1C_1 \perp A_1B_1$。
故 $A_1A, A_1B_1, A_1C_1$ 两两垂直。
以 $A_1$ 为坐标原点，$\overrightarrow{A_1A}, \overrightarrow{A_1B_1}, \overrightarrow{A_1C_1}$ 的方向分别为 $x, y, z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $A_1-xyz$。
由 $AA_1=AB=AC=2$，得 $A_1(0,0,0), A(2,0,0), B_1(0,2,0), C_1(0,0,2)$。
则 $B(2,2,0), C(2,0,2)$。
因为 $D$ 为 $A_1B_1$ 的中点，$E$ 为 $AA_1$ 的中点，
所以 $D(0,1,0), E(1,0,0)$。
因为 $F$ 为 $CD$ 的中点，$C(2,0,2), D(0,1,0)$，
所以 $F(1, \frac{1}{2}, 1)$。

（1）$\overrightarrow{EF} = (1-1, \frac{1}{2}-0, 1-0) = (0, \frac{1}{2}, 1)$。
平面 $ABC$ 过点 $A(2,0,0), B(2,2,0), C(2,0,2)$，易知其法向量可取 $\vec{m} = (1, 0, 0)$。
因为 $\overrightarrow{EF} \cdot \vec{m} = 0 \times 1 + \frac{1}{2} \times 0 + 1 \times 0 = 0$，所以 $\overrightarrow{EF} \perp \vec{m}$。
又因为 $E(1,0,0)$ 不在平面 $ABC$（方程 $x=2$）内，即 $EF \not\subset$ 平面 $ABC$，
所以 $EF // $ 平面 $ABC$。

（2）$\overrightarrow{EB} = (2-1, 2-0, 0-0) = (1, 2, 0)$。
$\overrightarrow{C_1C} = (2, 0, 0), \overrightarrow{C_1D} = (0, 1, -2)$。
设平面 $CC_1D$ 的法向量为 $\vec{n} = (x, y, z)$，
则 $\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{C_1C} = 2x = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{C_1D} = y - 2z = 0 \end{cases}$。
取 $z=1$，则 $y=2, x=0$，得 $\vec{n} = (0, 2, 1)$。
设直线 $BE$ 与平面 $CC_1D$ 所成角为 $\theta$，
则 $\sin \theta = |\cos \langle \overrightarrow{EB}, \vec{n} \rangle| = \frac{|\overrightarrow{EB} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{EB}| |\vec{n}|} = \frac{|1\times 0 + 2\times 2 + 0\times 1|}{\sqrt{1^2+2^2} \cdot \sqrt{0^2+2^2+1^2}} = \frac{4}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4}{5}$。
所以直线 $BE$ 与平面 $CC_1D$ 所成角的正弦值为 $\frac{4}{5}$。

（3）$\overrightarrow{A_1C} = (2, 0, 2), \overrightarrow{A_1D} = (0, 1, 0)$。
设平面 $A_1CD$ 的法向量为 $\vec{v} = (x_1, y_1, z_1)$，
则 $\begin{cases} \vec{v} \cdot \overrightarrow{A_1C} = 2x_1 + 2z_1 = 0 \\ \vec{v} \cdot \overrightarrow{A_1D} = y_1 = 0 \end{cases}$。
取 $x_1=1$，则 $z_1=-1, y_1=0$，得 $\vec{v} = (1, 0, -1)$。
由（2）知平面 $CC_1D$ 的法向量 $\vec{n} = (0, 2, 1)$。
设平面 $A_1CD$ 与平面 $CC_1D$ 所成二面角为 $\alpha$，
则 $|\cos \alpha| = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|} = \frac{|1\times 0 + 0\times 2 + (-1)\times 1|}{\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{0^2+2^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$。
结合图形可知该二面角为锐角，
所以平面 $A_1CD$ 与平面 $CC_1D$ 所成二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$。