（12分）（2008•四川）一条生产线上生产的产品按质量情…——2008 高考数学第 18 题答案解析

（Ⅰ）设事件 $A_i$ 表示“第 $i$ 件产品为 A 类”，$B_i$ 表示“第 $i$ 件产品为 B 类”，$C_i$ 表示“第 $i$ 件产品为 C 类”（$i=1,2$）。
由题意知，各件产品质量互不影响，且 $P(A_i)=0.9$，$P(B_i)=0.05$，$P(C_i)=0.05$。

设备不需要调整的条件是：抽检的 2 件产品中不含 C 类产品，且不全是 B 类产品。
即满足以下三种互斥情况之一：
1. 两件均为 A 类：$A_1 A_2$
2. 第一件为 A 类，第二件为 B 类：$A_1 B_2$
3. 第一件为 B 类，第二件为 A 类：$B_1 A_2$

记“设备不需要调整”为事件 $M$，则：
$$ \begin{aligned} P(M) &= P(A_1 A_2) + P(A_1 B_2) + P(B_1 A_2) \\ &= P(A_1)P(A_2) + P(A_1)P(B_2) + P(B_1)P(A_2) \\ &= 0.9 \times 0.9 + 0.9 \times 0.05 + 0.05 \times 0.9 \\ &= 0.81 + 0.045 + 0.045 \\ &= 0.9 \end{aligned} $$
故在一次抽检后，设备不需要调整的概率为 $0.9$。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，一次抽检后设备需要调整的概率为 $p = 1 - P(M) = 1 - 0.9 = 0.1$。
一天抽检 3 次，每次抽检相互独立，$\xi$ 表示需要调整设备的次数，则 $\xi$ 服从二项分布，即 $\xi \sim B(3, 0.1)$。
$\xi$ 的可能取值为 $0, 1, 2, 3$。

各取值的概率计算如下：
$$ \begin{aligned} P(\xi=0) &= C_3^0 (0.1)^0 (0.9)^3 = 1 \times 1 \times 0.729 = 0.729 \\ P(\xi=1) &= C_3^1 (0.1)^1 (0.9)^2 = 3 \times 0.1 \times 0.81 = 0.243 \\ P(\xi=2) &= C_3^2 (0.1)^2 (0.9)^1 = 3 \times 0.01 \times 0.9 = 0.027 \\ P(\xi=3) &= C_3^3 (0.1)^3 (0.9)^0 = 1 \times 0.001 \times 1 = 0.001 \end{aligned} $$

$\xi$ 的分布列为：

数学期望为：
$$ E\xi = np = 3 \times 0.1 = 0.3 $$