2008 地方卷 数学

（5 分）（2008•四川）已知全集 $U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}$，集合 $A=\{1,\ 3\}$，$B=\{3,\ 4,\ 5\}$，则集合 $\complement_U (A\cap B) = (\quad)$

（5分）（2008•四川）复数2i（1+i）²=（　　）

（5 分）（2008•四川）$(\tan x+\cot x)\cos^2 x = (\quad)$

（5分）（2008•四川）直线 $\scriptstyle \mathbf { y } = 3 \mathbf { x }$ 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的
直线为（　　）
A $y = - \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 3 }$ B $\mathbf { y } = - \frac { 1 } { 3 } \mathbf { x } + 1$ C $\mathbf { y } { = } 3 \mathbf { x } - 3$ D． $y = \frac { 1 } { 3 } x + 1$

（5分）（2008•四川）若 $0 \leq a \leq 2 \pi$ $\sin a > \sqrt { 3 } \cos a$ ，则α的取值范围是（　　）

（5分）（2008•四川）从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙
中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（　　）

（5 分）（2008•四川）已知等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_2=1$，则其前 3 项的和 $S_3$ 的取值范围是（　　）

（5 分）（2008•四川）设 M，N 是球心 O 的半径 OP 上的两点，且 $NP=MN=OM$，分别过 N，M，O 作垂线于 OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（　　）

（5分）（2008•四川）设直线l⊂平面α，过平面α 外一点A与l，α都成 $3 0 ^ { \circ }$ 角的直线有
且只有（　　）

（5分）（2008•四川）设 ${ \mathrm { ~ f ~ } } ( \mathbf { x } ) \ { = } { \sin \ } \left( \omega \mathbf { x } { + } \phi \right)$ ），其中ω＞0，则f（x）是偶函数的充要条
件是（　　）

（2008•四川）设定义在 $ \mathbb{R} $ 上的函数 $ f(x) $ 满足 $ f(x) \cdot f(x+2) = 13 $，若 $ f(1) = 2 $，则 $ f(99) = $（　　）

（5分）（2008•四川）已知抛物线 $\mathrm { C } \colon \mathrm { y } ^ { 2 } { = } 8 \mathrm { x }$ 的焦点为 F，准线与x轴的交点为K，点A
在C上且 $\left| \operatorname { A K } \right| = { \sqrt { 2 } } \left| \operatorname { A F } \right|$ ，则 $\triangle \mathrm { A F K }$ 的面积为（　　）

（4 分）（2008•四川） $\left( 1 + 2 \mathbf { x } \right) { \textbf { 3 } } \left( 1 - \mathbf { x } \right) { \textbf { 4 } }$ 展开式中 $\mathbf { x } ^ { 2 }$ 的系数为　﹣6

（4分）（2008•四川）已知直线l： $x - y + 4 = 0$ 与圆 $\mathrm { C } \colon \mathrm { ~ ( ~ x ~ - ~ 1 ~ ) ~ } ^ { 2 } + \mathrm { ~ ( ~ y ~ - ~ 1 ~ ) ~ } ^ { 2 } { = } 2$ ，则 C 上各点到l 的距离的最小值为 $\sqrt { 2 }$

（4分）（2008•四川）已知正四棱柱的对角线的长为 ${ \sqrt { 6 } }$ ，且对角线与底面所成角的余弦 值为 $\scriptstyle 1 { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } } ,$ ，则该正四棱柱的体积等于　2

（4分）（2008•四川）设等差数列 $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 的前n项和为 $\mathrm { S } _ { \mathrm { n } }$ ，若 $\mathrm { S } _ { 4 } { \geq } 1 0$ $\mathrm { S } _ { 5 } { \le } 1 5$ ，则 ${ \bf { a } } _ { 4 }$ 的最大 值为　4

（12 分）（2008•四川）求函数 $y=7-4\sin x\cos x+4\cos^2x-4\cos^4x$ 的最大值与最小值．

（12分）（2008•四川）设数列 $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 的前n项和为 $\mathrm { S } _ { \mathrm { n } }$ ，已知 $\mathbf { b a } _ { \mathrm { n } } - 2 ^ { \mathrm { n } } { = \mathrm { \Gamma } } \left( \mathbf { b } - 1 \right) \mathbf { S } _ { \mathrm { n } }$

（Ⅰ）证明：当b=2时， $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } - \mathbf { n } { \bullet } 2 ^ { \mathrm { n } - 1 } \}$ 是等比数列；

（Ⅱ）求 $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 的通项公式

（14分）（2008•四川）已知x=3是函数 $\mathrm { ~ f ~ } \left( \mathbf { x } \right) = \mathbf { a } \ln \left( 1 + \mathbf { x } \right) + \mathbf { x } ^ { 2 } - 1 0 \mathbf { x }$ 的一个极值点（Ⅰ）求 a；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若直线 $\mathbf { y } = \mathbf { b } \ \bot$ 函数 $\mathbf { y } { = } \mathbf { f } \ \left( \mathbf { x } \right)$ 的图象有3个交点，求b的取值范围