## 23．（本小题满分10分） 设整数 n ≥ 4，P…——2011 高考数学第 23 题答案解析

**(1)**

由题意，点 $P(a,b)$ 满足 $a, b \in \{1, 2, \dots, n\}$，$a > b$，且 $a - b = 3$。

由 $b = a - 3$ 及 $b \geq 1$，得 $a \geq 4$；又 $a \leq n$，故 $a$ 可取 $4, 5, \dots, n$。

每一个 $a$ 的值唯一确定一个 $b$ 的值，因此满足条件的点 $P$ 的个数为：

$$A_n = n - 3$$

**(2)**

条件 $\dfrac{1}{3}(a-b)$ 是整数，即 $a - b$ 是 $3$ 的正整数倍（因为 $a > b$）。

设 $a - b = 3k$，其中 $k$ 为正整数。对于固定的 $k$，由 $b = a - 3k \geq 1$ 且 $a \leq n$，得 $a$ 可取 $3k+1, 3k+2, \dots, n$，共 $n - 3k$ 个值。

要使这样的点存在，需 $n - 3k \geq 1$，即 $k \leq \dfrac{n-1}{3}$。

记满足 $a - b = 3k$ 的点数为 $f_n(k) = n - 3k$，则：

$$B_n = \sum_{k=1}^{\lfloor (n-1)/3 \rfloor} (n - 3k)$$

设 $n - 1 = 3m + r$，其中 $m$ 为非负整数，$r \in \{0, 1, 2\}$，则求和上限为 $m$。

$$B_n = \sum_{k=1}^{m}(n - 3k) = mn - 3 \cdot \frac{m(m+1)}{2} = \frac{m(2n - 3m - 3)}{2}$$

将 $m = \dfrac{n - 1 - r}{3}$ 代入：

$$B_n = \frac{n-1-r}{3} \cdot \frac{2n - (n-1-r) - 3}{2} = \frac{(n-1-r)(n+r-2)}{6}$$

展开分子：

$$(n-1-r)(n+r-2) = n^2 - 3n + 2 - r^2 + r = (n-1)(n-2) - r(r-1)$$

所以：

$$B_n = \frac{(n-1)(n-2)}{6} - \frac{r(r-1)}{6}$$

分情况讨论：

- 当 $r = 0$ 时（即 $n \equiv 1 \pmod{3}$），$\dfrac{r(r-1)}{6} = 0$，$B_n = \dfrac{(n-1)(n-2)}{6}$。
- 当 $r = 1$ 时（即 $n \equiv 2 \pmod{3}$），$\dfrac{r(r-1)}{6} = 0$，$B_n = \dfrac{(n-1)(n-2)}{6}$。
- 当 $r = 2$ 时（即 $n \equiv 0 \pmod{3}$，$n$ 是 $3$ 的倍数），$\dfrac{r(r-1)}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$，此时：

$$B_n = \frac{(n-1)(n-2)}{6} - \frac{1}{3} = \frac{(n-1)(n-2) - 2}{6} = \frac{n^2 - 3n}{6} = \frac{n(n-3)}{6}$$

综上：

$$B_n = \begin{cases} \dfrac{n(n-3)}{6}, & n \text{ 是 } 3 \text{ 的倍数} \\[8pt] \dfrac{(n-1)(n-2)}{6}, & n \text{ 不是 } 3 \text{ 的倍数} \end{cases}$$