（本小题满分 12 分） A B C 的内角 A, B,…——2014 高考数学第 16 题答案解析

（1）由 $a, b, c$ 成等差数列，得

$$a + c = 2b.$$

根据正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$，上式等价于

$$\sin A + \sin C = 2\sin B.$$

在 $\triangle ABC$ 中，$A + B + C = \pi$，故 $B = \pi - (A + C)$，于是

$$\sin B = \sin[\pi - (A + C)] = \sin(A + C).$$

代入即得

$$\sin A + \sin C = 2\sin(A + C).$$

（2）由 $a, b, c$ 成等比数列，得

$$b^2 = ac.$$

又已知 $c = 2a$，所以

$$b^2 = a \cdot 2a = 2a^2.$$

由余弦定理：

$$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}.$$

将 $c = 2a$，$b^2 = 2a^2$ 代入：

$$\cos B = \frac{a^2 + (2a)^2 - 2a^2}{2a \cdot 2a} = \frac{a^2 + 4a^2 - 2a^2}{4a^2} = \frac{3a^2}{4a^2} = \frac{3}{4}.$$