（12分）（2008•陕西）一个口袋中装有大小相同的2个红…——2008 高考数学第 18 题答案解析

口袋中共有 $2+3+4=9$ 个球。

（Ⅰ）设“第一次摸出黑球，第二次摸出白球”为事件 $A$。
方法一（分步乘法原理）：
第一次从9个球中摸出1个黑球的概率为 $\frac{3}{9}$；
由于不放回，剩余8个球中有4个白球，第二次摸出白球的概率为 $\frac{4}{8}$。
故所求概率 $P(A) = \frac{3}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$。

方法二（古典概型）：
从9个球中依次取出2个球的排列总数为 $A_9^2 = 9 \times 8 = 72$。
第一次取黑球（3种选法）且第二次取白球（4种选法）的排列数为 $3 \times 4 = 12$。
故 $P(A) = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$。

（Ⅱ）设“摸球次数不超过3次”为事件 $B$。
根据规则，摸到红球即停止。事件 $B$ 包含以下三种互斥情况：
1. 第1次摸到红球（记为事件 $B_1$）：
$P(B_1) = \frac{2}{9}$。

2. 第1次未摸到红球，第2次摸到红球（记为事件 $B_2$）：
第1次从非红球（7个）中取1个，第2次从红球（2个）中取1个。
$P(B_2) = \frac{7}{9} \times \frac{2}{8} = \frac{7}{9} \times \frac{1}{4} = \frac{7}{36}$。
或者用排列数表示：$\frac{A_7^1 A_2^1}{A_9^2} = \frac{7 \times 2}{72} = \frac{14}{72} = \frac{7}{36}$。

3. 前2次均未摸到红球，第3次摸到红球（记为事件 $B_3$）：
第1、2次从非红球（7个）中依次取2个，第3次从红球（2个）中取1个。
$P(B_3) = \frac{7}{9} \times \frac{6}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{7}{9} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{7} = \frac{1}{9} \times \frac{3}{4} \times 2 = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$。
或者用排列数表示：$\frac{A_7^2 A_2^1}{A_9^3} = \frac{7 \times 6 \times 2}{9 \times 8 \times 7} = \frac{84}{504} = \frac{1}{6}$。

因为 $B_1, B_2, B_3$ 互斥，所以：
$P(B) = P(B_1) + P(B_2) + P(B_3) = \frac{2}{9} + \frac{7}{36} + \frac{1}{6}$
通分得：
$P(B) = \frac{8}{36} + \frac{7}{36} + \frac{6}{36} = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$。