2018_新课标III Paper
17．（12分）等比数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 中， $\mathtt { a } _ { 1 } = 1$ $\mathtt { a } _ { 5 } \mathtt { = } 4 \mathtt { a } _ { 3 }$
（1）求 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式；
（2）记 $S _ { \mathfrak { n } }$ 为 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和．若 $S _ { m } = 6 3$ ，求m
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设等比数列的公比为 $q$。由 $a_1=1$，得
\[
a_3=q^2,\qquad a_5=q^4.
\]
由 $a_5=4a_3$，得
\[
q^4=4q^2.
\]
等比数列公比 $q\ne0$，所以
\[
q^2=4,\qquad q=\pm2.
\]
因此
\[
a_n=q^{n-1}=2^{n-1}\quad\text{或}\quad a_n=(-2)^{n-1}.
\]
当 $q=-2$ 时，
\[
S_m=\frac{1-(-2)^m}{1-(-2)}=\frac{1-(-2)^m}{3}.
\]
由 $S_m=63$，得
\[
\frac{1-(-2)^m}{3}=63,
\]
即
\[
(-2)^m=-188.
\]
因为 $(-2)^m$ 只能取 $\pm2^m$，而 $188$ 不是 $2$ 的整数次幂，所以此时无正整数 $m$。
当 $q=2$ 时，
\[
S_m=\frac{1-2^m}{1-2}=2^m-1.
\]
由 $S_m=63$，得
\[
2^m-1=63,
\]
所以
\[
2^m=64,
\]
解得
\[
m=6.
\]
只讲你不懂的那一步，不用把整道题重讲一遍。答案和完整解析就在上面，不用聊天也能看。
可以再试一道相同方法、不同题面的题，确认是否真正掌握。
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。