（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且 B…——2017 高考数学第 18 题答案解析

（1）证明：
由已知 $\angle BAP = \angle CDP = 90^\circ$，可得 $AB \perp PA$，$CD \perp PD$。
因为 $AB \parallel CD$，所以 $AB \perp PD$。
又因为 $PA \cap PD = P$，且 $PA, PD \subset$ 平面 $PAD$，
所以 $AB \perp$ 平面 $PAD$。
因为 $AB \subset$ 平面 $PAB$，
所以平面 $PAB \perp$ 平面 $PAD$。

（2）解：
设 $PA=PD=AB=DC=a$。
在 $\triangle PAD$ 中，因为 $PA=PD=a$，$\angle APD=90^\circ$，
所以 $AD = \sqrt{PA^2+PD^2} = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2}a$。
取 $AD$ 的中点 $O$，连接 $PO$。
因为 $PA=PD$，所以 $PO \perp AD$，且 $PO = \frac{1}{2}AD = \frac{\sqrt{2}}{2}a$。
由（1）知 $AB \perp$ 平面 $PAD$，而 $AD \subset$ 平面 $PAD$，所以 $AB \perp AD$。
又 $AB \parallel CD$，故四边形 $ABCD$ 为矩形，其面积 $S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot \sqrt{2}a = \sqrt{2}a^2$。
因为平面 $PAD \perp$ 平面 $ABCD$（由 $AB \perp$ 平面 $PAD$ 且 $AB \subset$ 平面 $ABCD$ 推得），交线为 $AD$，且 $PO \perp AD$，
所以 $PO \perp$ 平面 $ABCD$，即 $PO$ 为四棱锥的高。
四棱锥 $P-ABCD$ 的体积 $V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot PO = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a = \frac{1}{3}a^3$。
由题意 $V = \frac{8}{3}$，即 $\frac{1}{3}a^3 = \frac{8}{3}$，解得 $a=2$。
所以 $PA=PD=AB=DC=2$，$AD=BC=2\sqrt{2}$，$PO=\sqrt{2}$。

接下来计算四个侧面的面积：
1. $\triangle PAD$：直角三角形，$S_{\triangle PAD} = \frac{1}{2} PA \cdot PD = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$。
2. $\triangle PAB$：由（1）知 $AB \perp$ 平面 $PAD$，故 $AB \perp PA$，$\triangle PAB$ 为直角三角形。
$S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} PA \cdot AB = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$。
3. $\triangle PDC$：同理，$CD \perp$ 平面 $PAD$（因 $CD \parallel AB$），故 $CD \perp PD$，$\triangle PDC$ 为直角三角形。
$S_{\triangle PDC} = \frac{1}{2} PD \cdot DC = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$。
4. $\triangle PBC$：
在 Rt$\triangle PAB$ 中，$PB = \sqrt{PA^2+AB^2} = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2}$。
在 Rt$\triangle PDC$ 中，$PC = \sqrt{PD^2+DC^2} = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2}$。
又 $BC = AD = 2\sqrt{2}$，所以 $\triangle PBC$ 是边长为 $2\sqrt{2}$ 的等边三角形。
$S_{\triangle PBC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8 = 2\sqrt{3}$。

综上，该四棱锥的侧面积 $S = S_{\triangle PAD} + S_{\triangle PAB} + S_{\triangle PDC} + S_{\triangle PBC} = 2 + 2 + 2 + 2\sqrt{3} = 6 + 2\sqrt{3}$。