20．（14分）给定数列 $\mathsf { a } _ { 1 } , ~ \mathsf { a } _ { 2 } , ~ . . . , ~ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$ ．对 $\mathsf { i } = 1 , ~ 2 , ~ \ldots , ~ \mathsf { n } - 1$ ，该数列前i项的最大值记为 $\mathsf { A } _ { \mathsf { i } } ,$ ，后n﹣i 项 $\mathsf { a } _ { \mathsf { i } + 1 } , \mathsf { a } _ { \mathsf { i } + 2 } , \mathsf { \ldots } , \mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$ 的最小值记为 $\mathsf { B } _ { \mathrm { i } } , ~ \mathsf { d } _ { \mathrm { i } } \mathrm { = } \mathsf { A } _ { \mathrm { i } } \mathrm { ~ - ~ } \mathsf { B } _ { \mathrm { i } }$
（Ⅰ）设数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 为3，4，7，1，写出 ${ \sf d } _ { 1 } , { \sf d } _ { 2 } , { \sf d } _ { 3 }$ 的值；
（Ⅱ）设 ${ \sf a } _ { 1 } , { \sf a } _ { 2 } , { \sf . . . } , { \sf a } _ { \sf n - 1 } ( { \sf n } \geq 4 )$ ）是公比大于1的等比数列，且 $\mathsf { a } _ { 1 } > 0$ ．证明：${ \mathsf d } _ { 1 } , { \mathsf d } _ { 2 } , . . . , { \mathsf d } _ { { \mathsf n } - 1 }$ 是等比数列；
（Ⅲ）设 ${ \mathsf d } _ { 1 } , { \mathsf d } _ { 2 } , . . . , { \mathsf d } _ { { \mathsf n } - 1 }$ 是公差大于 0 的等差数列，且 ${ \mathsf d } _ { 1 } > 0$ ．证明： $\mathsf { a } _ { 1 }$ ，$\mathsf { a } _ { 2 } , \ldots , \mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$ <sub>1</sub>是等差数列
See explanation