2013 北京卷 数学

（5 分）已知集合 $\mathsf { A } = \{ \mathit { \Pi } - 1 , \ 0 , \ 1 \}$ $\mathsf { B } = \{ \mathsf { x } | - 1 { \leqslant } \mathsf { x } { < } 1 \}$ ，则 A∩B=（　　）

（5 分）设 $a$，$b$，$c\in\mathbb{R}$，且 $a>b$，则（　　）

（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间 $( 0 , \ + \infty )$ 上单调递减的是（　　）A $y = \frac { 1 } { \mathbf { x } }$ B $\mathsf { y } = \mathsf { e } ^ { \mathrm { ~ - ~ } \mathsf { x } }$ C $\mathsf { v } { = } \mathsf { l } _ { \mathsf { g } } \left| \mathsf { x } \right|$ D $\mathsf { y } = - \mathsf { x } ^ { 2 + 1 }$

（5分）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（　　）

（5分）在 $\triangle A B C$ 中，a=3，b=5， $\sin A = \frac { 1 } { 3 }$ ，则sinB=（　　）A $\frac { 1 } { 5 }$ B $\frac { 5 } { 9 }$ C $\frac { \sqrt { 5 } } { 3 }$ D．1

（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

A．1 B $\frac { 2 } { 3 }$ C $\frac { 1 3 } { 2 1 }$ D $\frac { 6 1 0 } { 9 8 7 }$

（5 分）双曲线 $\scriptstyle \mathbf { x } ^ { 2 } - { \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { \mathtt { m } } } = 1$ 的离心率大于 $\sqrt { 2 }$ 的充分必要条件是（ ）A $m > \frac { 1 } { 2 }$ B $\mathsf { m } \geqslant 1$ C $\mathsf { m } > 1$ D $\mathsf { m } { } > 2$

（5 分）如图，在正方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 中，P 为对角线 $\mathsf { B D } _ { 1 }$ 的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（　　）

（5 分）若抛物线 $\mathsf { y } ^ { 2 } { = } 2 \mathsf { p } \mathsf { x }$ 的焦点坐标为（1，0），则 $p = 2$ ；准线方程为$\underline { { \mathbf { x } } } = \mathbf { - } ~ 1$

（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为　3

正（主）视图

侧（左）视图
俯视图

（5 分）若等比数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 满足 $a _ { 2 } + a _ { 4 } = 2 0 , a _ { 3 } + a _ { 5 } = 4 0$ ，则公比 q= 2　；前 n 项和 $S _ { \mathfrak { n } } { = } \_ { 2 ^ { \mathfrak { n } + 1 } - 2 }$

（5 分）函数 $ f(x) = \begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} x, & x \geqslant 1 \\ 2^x, & x < 1 \end{cases} $ 的值域为 $(-\infty, 2)$．

（5分）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足 $\overrightarrow { A P } = \lambda \overrightarrow { A B } + \mu \overrightarrow { A C } ( 1 \leq \lambda \leq 2 , 0 \leq \mu \leq 1 )$ 的点P组成，则D的面积为　3

（13 分）如图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染．某人随机选择3月1 日至3月13日中的某一天到达该市，并停留 2天

（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；

（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；

（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

（13 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，$CD=2AB$，平面PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD．E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证：

（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；

（Ⅱ）BE∥平面PAD；

（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD

已知函数 $ f(x) = x^2 + x\sin x + \cos x $．
（Ⅰ）若曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (a, f(a)) $ 处与直线 $ y = b $ 相切，求 $ a $ 与 $ b $ 的值；
（Ⅱ）若曲线 $ y = f(x) $ 与直线 $ y = b $ 有两个不同交点，求 $ b $ 的取值范围．

（14分）直线 $y = k x + m ( m \neq 0 )$ 与椭圆 $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } + \mathbf { y } ^ { 2 } = 1$ 相交于A，C两点，O是坐标原点

（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC 为菱形时，求AC的长；

（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形

（14分）给定数列 $\mathsf { a } _ { 1 } , ~ \mathsf { a } _ { 2 } , ~ . . . , ~ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$ ．对 $\mathsf { i } = 1 , ~ 2 , ~ \ldots , ~ \mathsf { n } - 1$ ，该数列前i项的最大值记为 $\mathsf { A } _ { \mathsf { i } } ,$ ，后n﹣i 项 $\mathsf { a } _ { \mathsf { i } + 1 } , \mathsf { a } _ { \mathsf { i } + 2 } , \mathsf { \ldots } , \mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$ 的最小值记为 $\mathsf { B } _ { \mathrm { i } } , ~ \mathsf { d } _ { \mathrm { i } } \mathrm { = } \mathsf { A } _ { \mathrm { i } } \mathrm { ~ - ~ } \mathsf { B } _ { \mathrm { i } }$

（Ⅰ）设数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 为3，4，7，1，写出 ${ \sf d } _ { 1 } , { \sf d } _ { 2 } , { \sf d } _ { 3 }$ 的值；

（Ⅱ）设 ${ \sf a } _ { 1 } , { \sf a } _ { 2 } , { \sf . . . } , { \sf a } _ { \sf n - 1 } ( { \sf n } \geq 4 )$ ）是公比大于1的等比数列，且 $\mathsf { a } _ { 1 } > 0$ ．证明：${ \mathsf d } _ { 1 } , { \mathsf d } _ { 2 } , . . . , { \mathsf d } _ { { \mathsf n } - 1 }$ 是等比数列；

（Ⅲ）设 ${ \mathsf d } _ { 1 } , { \mathsf d } _ { 2 } , . . . , { \mathsf d } _ { { \mathsf n } - 1 }$ 是公差大于 0 的等差数列，且 ${ \mathsf d } _ { 1 } > 0$ ．证明： $\mathsf { a } _ { 1 }$ ，$\mathsf { a } _ { 2 } , \ldots , \mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$ ₁是等差数列