## 20.（本小题满分13分） 设函数 f ( x )…——2014 高考数学第 20 题答案解析

函数定义域为 $(0, +\infty)$。
对 $f(x)$ 求导：
$$ f'(x) = \left( \frac{e^x}{x^2} \right)' - k \left( \frac{2}{x} + \ln x \right)' $$
$$ = \frac{e^x \cdot x^2 - e^x \cdot 2x}{x^4} - k \left( -\frac{2}{x^2} + \frac{1}{x} \right) $$
$$ = \frac{e^x(x-2)}{x^3} + \frac{k(2-x)}{x^2} $$
$$ = \frac{e^x(x-2) + kx(2-x)}{x^3} $$
$$ = \frac{(x-2)(e^x - kx)}{x^3} $$

（Ⅰ）当 $k \leq 0$ 时：
因为 $x > 0$，所以 $kx \leq 0$。又 $e^x > 0$，故 $e^x - kx > 0$ 恒成立。
此时 $f'(x)$ 的符号由 $x-2$ 决定（分母 $x^3 > 0$）。
当 $x \in (0, 2)$ 时，$x-2 < 0$，则 $f'(x) < 0$，函数 $f(x)$ 单调递减；
当 $x \in (2, +\infty)$ 时，$x-2 > 0$，则 $f'(x) > 0$，函数 $f(x)$ 单调递增。
综上，$f(x)$ 的单调递减区间为 $(0, 2)$，单调递增区间为 $(2, +\infty)$。

（Ⅱ）若函数 $f(x)$ 在 $(0, 2)$ 内存在两个极值点，则方程 $f'(x) = 0$ 在 $(0, 2)$ 内有两个不相等的实根。
由 $f'(x) = \frac{(x-2)(e^x - kx)}{x^3} = 0$ 且 $x \in (0, 2)$，可知 $x-2 \neq 0$，故需满足：
$$ e^x - kx = 0 \quad \text{在 } (0, 2) \text{ 内有两个不相等的实根} $$
即 $k = \frac{e^x}{x}$ 在 $(0, 2)$ 内有两个不相等的实根。
设 $h(x) = \frac{e^x}{x}, x \in (0, 2)$，则 $h'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$。
令 $h'(x) = 0$，解得 $x = 1$。
当 $x \in (0, 1)$ 时，$h'(x) < 0$，$h(x)$ 单调递减；
当 $x \in (1, 2)$ 时，$h'(x) > 0$，$h(x)$ 单调递增。
所以 $h(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值，也是最小值，$h(1) = e$。
要使直线 $y=k$ 与曲线 $y=h(x)$ 在 $(0, 2)$ 上有两个交点，需满足：
$$ h(1) < k < \min(h(0^+), h(2)) $$
计算边界值：
$\lim_{x \to 0^+} h(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x}{x} = +\infty$；
$h(2) = \frac{e^2}{2}$。
因为 $e < \frac{e^2}{2}$（即 $2 < e$ 成立），所以需满足：
$$ e < k < \frac{e^2}{2} $$
故 $k$ 的取值范围是 $\left( e, \frac{e^2}{2} \right)$。