山东高考数学真题及答案解析

1．（5分）设函数$y=\sqrt{4-x^2}$的定义域为A，函数$y=\ln(1-x)$的定义域为B，则A$\cap$B=（ ）

2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+$\sqrt{3}$i，z·$\overline{z}$=4，则a=（ ）

3．（5分）已知命题p：∀x>0，ln(x+1)>0；命题q：若a>b，则a²>b²，下列命题为真命题的是（ ）

4．（5分）已知x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } - \mathbf { y } + 3 \leqslant 0 } \\ { 3 \mathbf { x } + \mathbf { y } + 5 \leqslant 0 } \\ { \mathbf { x } + 3 \geqslant 0 } \end{array} \right.$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值是（　　）

5．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）
的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间
有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\widehat { \mathbf { y } } = \widehat { \mathbf { b } } \mathbf { x } + \widehat { \mathbf { a } } ,$ ，已知 $\sum \limits _ { i = 1 } ^ { 1 0 } x _ { i } = 2 2 5$ $\sum _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { 1 0 } \mathsf { y } _ { \mathrm { i } } \mathrm { = } 1 6 0 0$ ，
=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（　　）

6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（　　）

7．（5分）若 $\mathsf { a } { > } \mathsf { b } { > } 0$ ，且ab=1，则下列不等式成立的是（A $a + \frac { 1 } { b } < \frac { b } { 2 ^ { a } } < 1 0 8 2 ( a + b )$ B $\frac { b } { 2 ^ { a } } < 1 0 8 2 ( a + b ) < a + \frac { 1 } { b }$ C $a + \frac { 1 } { b } < 1 0 8 2 ( a + b ) < \frac { b } { 2 ^ { a } }$ D $\log _ { 2 } ( a + b ) = a + \frac { 1 } { b } < \frac { b } { 2 ^ { a } }$

8．（5分）从分别标有1，2，...，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（　　）

9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\triangle \mathsf { A B C }$ 为锐角三角形，且满足 $\mathsf { s i n B } \ : \ : \left( \mathsf { 1 + 2 c o s C } \right) \ : = 2 \mathsf { s i n A c o s C \mathrm { + c o s A s i n C } }$ ，则下列等式成立的是（　　）

10．（5分）已知当 $\mathsf { x } \in [ 0$ ，1]时，函数 $\mathbf { \psi } _ { \mathsf { Y } } = \mathbf { \psi } \left( \mathsf { m } \mathbf { x } - \mathsf { 1 } \right) \mathbf { \psi } ^ { 2 }$

的图象与 $v = \sqrt { \tt x } + \ m$ 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（　　）

11．（5分）已知（1+3x）ⁿ的展开式中含有x²的系数是54，则$n=$

12．（5分）已知 $\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$ 是互相垂直的单位向量，若 $\sqrt{3}\vec{e_1} - \vec{e_2}$ 与 $\vec{e_1} + \lambda \vec{e_2}$ 的夹角为 $60^\circ$，则实数 $\lambda$ 的值是_____.

16．（12分）设函数f $( x ) = \sin ( \omega x - \frac { \pi } { 6 } ) + \sin ( \omega x - \frac { \pi } { 2 } )$ ，其中 $\scriptstyle 1 0 < \omega < 3$ 已知f $( { \frac { \pi } { 6 } } ) \ { \ = } 0$

（Ⅰ）求ω；

（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 $\frac { \pi } { 4 }$ 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[$- ~ \frac { \pi } { 4 } , ~ \frac { 3 \pi } { 4 } ]$ 上的最小值

18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A$_1$，A$_2$，A$_3$，A$_4$，A$_5$，A$_6$和4名女志愿者B$_1$，B$_2$，B$_3$，B$_4$，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A$_1$但不包含B$_1$的概率．
（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．

3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下
列命题为真命题的是（　　）

1．（5分）（2016•山东）若复数z满足 $2 z + \overline { { z } } = 3 - 2 \mathrm { i }$ ，其中 i 为虚数单位，则 z=（　　）

2．（5分）（2016•山东）设集合 $\scriptstyle \mathrm { A = \{ y | y = 2 ^ { x } , ~ x \in R \} }$ $\mathrm { B } { = } \{ \mathrm { x } | \mathrm { x } ^ { 2 } - 1 { < } 0 \}$ ，则A∪B=（　　）A．（﹣1，1） B．（0，1） C $\mathrm { ~ ( ~ - ~ 1 ~ , ~ \ + \infty ~ ) ~ }$ D $( 0 , \ + \infty )$

4．（5分）（2016•山东）若变量 $x$，$y$ 满足 $\begin{cases}x+y\leqslant 2\\2x-3y\leqslant 9\\x\geqslant 0\end{cases}$，则 $x^2+y^2$ 的最大值是（　　）

6．（5分）（2016•山东）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内．则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的（　　）

7．（5分）（2016•山东）函数 $f(x)=(\sqrt{3}\sin x+\cos x)(\sqrt{3}\cos x-\sin x)$ 的最小正周期是（　　）

8．（5分）（2016•山东）已知非零向量 $\vec{m}$，$\vec{n}$ 满足 $4|\vec{m}|=3|\vec{n}|$，$\cos\langle\vec{m},\vec{n}\rangle=\dfrac{1}{3}$．若 $\vec{n}\perp(t\vec{m}+\vec{n})$，则实数 t 的值为（　　）

9．（5分）（2016•山东）已知函数 f（x）的定义域为 R．当 x＜0 时，f（x）=x³－1；当 －1≤x≤1 时，f（－x）=－f（x）；当 x＞$\dfrac{1}{2}$ 时，f（x+$\dfrac{1}{2}$）=f（x－$\dfrac{1}{2}$）．则 f（6）=（　　）

10．（5分）（2016•山东）若函数 $y=f$（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 $y=f$（x）具有 T 性质．下列函数中具有 T 性质的是（　　）

13．（5分）（2016•山东）已知双曲线 E：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>0$，$b>0$），若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 $2|AB|=3|BC|$，则 E 的离心率是__________．

14．（5分）（2016•山东）在 $[-1, 1]$ 上随机地取一个数 k，则事件“直线 $y=kx$ 与圆 $(x-5)^2+y^2=9$ 相交”发生的概率为__________．

16．（12分）（2016•山东）在 $\triangle ABC$ 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 $2(\tan A+\tan B)=\frac{\tan A+\tan B}{\cos B\cos A}$．
（Ⅰ）证明：$a+b=2c$；
（Ⅱ）求 $\cos C$ 的最小值．

18．（12分）（2016•山东）已知数列 $\{a_n\}$ 的前 n 项和 $S_n=3n^2+8n$，$\{b_n\}$ 是等差数列，且 $a_n=b_n+b_{n+1}$．
（Ⅰ）求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）令 $c_n=\frac{(a_n+1)^{n+1}}{(b_n+2)^n}$，求数列 $\{c_n\}$ 的前 n 项和 $T_n$．

19．（本小题满分12分）
已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=3n^2+8n$，$\{b_n\}$是等差数列，且$a_n=b_n+b_{n+1}$.
（I）求数列$\{b_n\}$的通项公式；
（II）令$c_n=\dfrac{(a_n+1)^{n+1}}{(b_n+2)^n}$.求数列$\{c_n\}$的前$n$项和$T_n$.

19．（12分）（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分．已知甲每轮猜对的概率是 $\frac{3}{4}$，乙每轮猜对的概率是 $\frac{2}{3}$；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（Ⅰ）“星队”至少猜对 3 个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX．

2.若复数Z满足 ${ \frac { \overline { { Z } } } { 1 - i } } = i$ ，其中i为虚数为单位，则Z=（ ）