（12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥CD…——2016 高考数学第 17 题答案解析

（I）取棱 $AD$ 的中点 $M$，点 $M$ 即为所求。
理由如下：
因为 $AD // BC$，且 $BC = \frac{1}{2}AD$， $M$ 为 $AD$ 中点，
所以 $AM = \frac{1}{2}AD$，即 $BC = AM$。
又 $BC // AM$，
所以四边形 $AMCB$ 为平行四边形，
所以 $CM // AB$。
因为 $AB \subset$ 平面 $PAB$， $CM \not\subset$ 平面 $PAB$，
所以 $CM //$ 平面 $PAB$。
又 $M \in AD \subset$ 平面 $PAD$，符合题意。

（II）证明：
由已知 $\angle PAB = 90^{\circ}$，即 $PA \perp AB$。
又已知 $PA \perp CD$。
在梯形 $ABCD$ 中， $AD // BC$ 且 $BC = \frac{1}{2}AD \neq AD$，
所以直线 $AB$ 与 $CD$ 必相交。
因为 $PA$ 垂直于平面 $ABCD$ 内的两条相交直线 $AB$ 和 $CD$，
所以 $PA \perp$ 平面 $ABCD$。
因为 $BD \subset$ 平面 $ABCD$，
所以 $PA \perp BD$。

取 $AD$ 的中点 $M$，连接 $BM$。
因为 $BC // AD$ 且 $BC = \frac{1}{2}AD = MD$，
所以四边形 $BCDM$ 为平行四边形，
所以 $BM = CD$。
又已知 $CD = \frac{1}{2}AD$，
所以 $BM = \frac{1}{2}AD = AM = MD$。
在 $\triangle ABD$ 中， $BM$ 为边 $AD$ 上的中线，且 $BM = \frac{1}{2}AD$，
所以 $\triangle ABD$ 为直角三角形，且 $\angle ABD = 90^{\circ}$，即 $AB \perp BD$。

因为 $PA \perp BD$， $AB \perp BD$，且 $PA \cap AB = A$， $PA, AB \subset$ 平面 $PAB$，
所以 $BD \perp$ 平面 $PAB$。
又 $BD \subset$ 平面 $PBD$，
所以平面 $PAB \perp$ 平面 $PBD$。