2016年高考数学真题及答案解析

1．（5 分）已知集合 $A = \{ x \vert 2 < x < 4 \}$ $B = \{ { \bf x } | { \bf x } < 3$ 或 $x > 5 \}$ ，则A∩B=（　　）A $\{ \times | 2 < x < 5 \}$ B $\{ \times \vert \times < 4$ 或 $x > 5 \}$ C $\{ \mathbf { \mu } _ { \mathbf { X } } | 2 < \mathbf { \mu } _ { \mathbf { X } } < 3 \}$ D． $\{ \times \vert \times < 2$ 或 $_ { \times > 5 } \}$

1．（5 分）已知集合 $\mathsf { A } { = } \left\{ \mathsf { x } | | \mathsf { x } | { < } 2 \right\}$ ，集合 $\mathsf { B } = \{ \mathrm { ~ - ~ } 1 , \mathrm { ~ } 0 , \mathrm { ~ } 1 , \mathrm { ~ } 2 , \mathrm { ~ } 3 \}$ ，则A∩B=（　　）

2．（5分）若x，y满足 $\left\{ \begin{array} { l l } { 2 \mathbf { x } - \mathbf { y } \leqslant 0 } \\ { \mathbf { x } + \mathbf { y } \leqslant 3 } \\ { \mathbf { x } \geqslant 0 } \end{array} \right.$ ，则2x+y的最大值为（

3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k值为（　　）

3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　）

4．（5 分）下列函数中，在区间（－1，1）上为减函数的是（　　）

5．（5分）圆 $( x + 1 ) 2 + y ^ { 2 } = 2$ 的圆心到直线y=x+3的距离为（　　）A．1 B．2 C $\sqrt { 2 }$ D $2 \sqrt { 2 }$

5．（5 分）已知 x，y∈R，且 x＞y＞0，则（　　）

6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）

正视图

侧视图

俯视图 A $\frac { 1 } { 6 }$ B $\frac 1 3$ C $\frac { 1 } { 2 }$ D．1

6．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（　　）

A $\frac { 1 } { 5 }$ B $\frac { 2 } { 5 }$ C $\frac { 8 } { 2 5 }$ D $\frac { 9 } { 2 5 }$

7．（5 分）将函数 $v = s i n ( 2 x - \frac { \pi } { 3 } )$ 图象上的点 ${ \textsf { P } } ( { \frac { \pi } { 4 } } ,$ ，t）向左平移 $\mathsf { \pmb { \mathsf { S } } } \left( \mathsf { \pmb { \mathsf { S } } } > 0 \right)$ 个单位长度得到点 $\mathsf { P ^ { \prime } }$ ，若P′位于函数 $\scriptstyle \forall = \sin 2 x$ 的图象上，则（A $\mathrm { t } { = } \frac { 1 } { 2 }$ ，s的最小值为 $\frac { \pi } { 6 }$ B $\mathrm { t } { = } \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ ，s 的最小值为 $\frac { \pi } { 6 }$ C． $\mathrm { t } { = } \frac { 1 } { 2 }$ ，s的最小值为 $\frac { \pi } { 3 }$ D $\mathrm { t } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ ，s的最小值为 $\frac { \pi } { 3 }$

7．（5 分）已知 A（2，5），B（4，1）．若点 P（x，y）在线段 AB 上，则 $2 x - y$ 的最大值为（　　）

8．（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（　　）

8．（5 分）某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>学生序号</td><td rowspan=1 colspan=1>1</td><td rowspan=1 colspan=1>2</td><td rowspan=1 colspan=1>3</td><td rowspan=1 colspan=1>4</td><td rowspan=1 colspan=1>5</td><td rowspan=1 colspan=1>6</td><td rowspan=1 colspan=1>7</td><td rowspan=1 colspan=1>8</td><td rowspan=1 colspan=1>9</td><td rowspan=1 colspan=1>10</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>立定跳远(单位：米）</td><td rowspan=1 colspan=1>1.96</td><td rowspan=1 colspan=1>1.92</td><td rowspan=1 colspan=1>1.82</td><td rowspan=1 colspan=1>1.80</td><td rowspan=1 colspan=1>1.78</td><td rowspan=1 colspan=1>1.76</td><td rowspan=1 colspan=1>1.74</td><td rowspan=1 colspan=1>1.72</td><td rowspan=1 colspan=1>1.68</td><td rowspan=1 colspan=1>1.60</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>30 秒跳绳(单位：次）</td><td rowspan=1 colspan=1>63</td><td rowspan=1 colspan=1>a</td><td rowspan=1 colspan=1>75</td><td rowspan=1 colspan=1>60</td><td rowspan=1 colspan=1>63</td><td rowspan=1 colspan=1>72</td><td rowspan=1 colspan=1>70</td><td rowspan=1 colspan=1>a - 1</td><td rowspan=1 colspan=1>b</td><td rowspan=1 colspan=1>65</td></tr></table>

在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和 30秒跳绳决赛的有6人，则（　　）A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛

10．（5分）在 $( 1 - 2 \mathsf { x } ) \ 6$ 的展开式中， $\mathsf { x } ^ { 2 }$ 的系数为　60　．（用数字作答）

10．（5分）函数 $f ( x ) = \frac { x } { x - 1 } ( x \geq 2 )$ 的最大值为　2

11．（5分）在极坐标系中，直线 $\mathsf { p c o s } \Theta - \sqrt { 3 } \mathsf { p s i n } \Theta - 1 { = } 0$ 与圆 $\scriptstyle 0 = 2 \cos \theta$ 交于 A，B两点，则 $\left| \mathsf { A B } \right| = \begin{array} { r l } { 2 } & { { } } \end{array}$

11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 $- \frac { 3 } { 2 } -$ -

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

12．（5 分）已知双曲线 $\frac { \texttt { x } ^ { 2 } } { \texttt { a } ^ { 2 } } - \frac { \texttt { y } ^ { 2 } } { \texttt { b } ^ { 2 } } = 1 ( { \texttt { a } } > 0 , { \texttt { b } } > 0 )$ ）的一条渐近线为 $2 x + y = 0$ 个焦点为 $( \sqrt { 5 } , \ 0 )$ ），则 $a = \_ 1 , b = \_ 2$

12．（5 分）已知 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 为等差数列， $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } }$ 为其前 n 项和．若 $\mathtt { a } _ { 1 } = 6 , \mathtt { a } _ { 3 } + \mathtt { a } _ { 5 } = 0$ ，则 ${ \mathsf S } _ { 6 } \mathrm { = }$ 6

13．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中， $\angle A = \frac { 2 \pi } { 3 } , \mathsf { a } = \sqrt { 3 } \mathsf { c }$ ，则 $\frac { b } { c } = \frac { 1 } { 1 }$

13．（5分）双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的渐近线为正方形OABC 的边OA，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2，则 $\mathtt { a } =$ 2

14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有 3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店

①第一天售出但第二天未售出的商品有　16　种；

②这三天售出的商品最少有　29　种

14．（5 分）设函数 $ f(x) = \begin{cases} x^3 - 3x, & x \leqslant a \\ -2x, & x > a \end{cases} $.
① 若 $ a = 0 $，则 $ f(x) $ 的最大值为 ______；
② 若 $ f(x) $ 无最大值，则实数 $ a $ 的取值范围是 ______．

15．（13 分）在 $\triangle A B C$ 中， $\mathtt { a } ^ { 2 } + \mathtt { c } ^ { 2 } = \mathtt { b } ^ { 2 } + \sqrt { 2 } \mathtt { a } \mathtt { c }$

（Ⅰ）求∠B的大小；

（Ⅱ）求 $\sqrt { 2 } \cos A + \cos C$ 的最大值

15．（13 分）已知 $\{a_n\}$ 是等差数列，$\{b_n\}$ 是等比数列，且 $b_2=3$，$b_3=9$，$a_1=b_1$，$a_{14}=b_4$．
（1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式；
（2）设 $c_n=a_n+b_n$，求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和．

16．已知函数 $f(x)=2\sin\omega x\cos\omega x+\cos2\omega x$（$\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$.
（1）求 $\omega$ 的值；
（2）求 $f(x)$ 的单调递增区间.

17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：

（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？

（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当$w=3$时，估计该市居民该月的人均水费

18．（14 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PC⊥平面 ABCD，AB∥DC，DC⊥AC

（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；

（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．

19．（14 分）已知椭圆 $\mathsf C : \frac { \boldsymbol x ^ { 2 } } { \mathsf a ^ { 2 } } + \frac { \boldsymbol y ^ { 2 } } { \mathsf b ^ { 2 } } { \mathsf = } \mathsf { 1 } ( \mathsf a > \mathsf b > 0 )$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , \ A \ ( \mathsf { a } , \ 0 ) , \mathsf { B }$

（0，b），O（0，0）， $\triangle0 A B$ 的面积为 1

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点N．求证： $\left| \mathsf { A N } \right| \bullet \left| \mathsf { B M } \right|$ 为定值