2013_退役省自主命题 (2013·文)
（16）（本小题满分 13 分，（I）小问 7 分，（II）小问 6 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{1}=1, a_{n+1}=3 a_{n}, n \in N_{+}$．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$；
（II）已知 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，$T_{n}$ 为前 $n$ 项和，且 $b_{1}=a_{2}, b_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}$，求 $T_{20}$．
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（I）由 $a_{n+1}=3a_n$ 且 $a_1=1$ 可知，数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$，公比 $q=3$ 的等比数列。
故通项公式为：
$$ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1} $$
前 $n$ 项和 $S_n$ 为：
$$ S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{1 \cdot (1-3^n)}{1-3} = \frac{1-3^n}{-2} = \frac{3^n-1}{2} $$
（II）根据题意计算 $\{b_n\}$ 的相关项：
$$ b_1 = a_2 = 3^{2-1} = 3 $$
$$ b_3 = a_1 + a_2 + a_3 = S_3 = \frac{3^3-1}{2} = \frac{26}{2} = 13 $$
设等差数列 $\{b_n\}$ 的公差为 $d$，由 $b_3 = b_1 + 2d$ 得：
$$ 13 = 3 + 2d \implies 2d = 10 \implies d = 5 $$
则 $\{b_n\}$ 的前 $20$ 项和 $T_{20}$ 为：
$$ T_{20} = 20b_1 + \frac{20 \times 19}{2} d $$
代入 $b_1=3, d=5$：
$$ T_{20} = 20 \times 3 + 190 \times 5 = 60 + 950 = 1010 $$
只讲你不懂的那一步，不用把整道题重讲一遍。答案和完整解析就在上面，不用聊天也能看。
可以再试一道相同方法、不同题面的题，确认是否真正掌握。
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。