（12分）如图，长方体 · A B C D - A _ 1…——2015 高考数学第 19 题答案解析

（1）如图，正方形 $EFGH$ 即为所求。
其中 $E, F$ 分别为 $A_1B_1, D_1C_1$ 上的点，且 $A_1E=D_1F=4$。
$H, G$ 分别为 $AB, CD$ 上的点，且 $AH=DG=10$。
连接 $EF, FG, GH, HE$。

（2）以 $D$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DD_1}$ 的方向为 $x, y, z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $D-xyz$。
由题意可得各点坐标如下：
$D(0,0,0)$，$A(10,0,0)$，$B(10,16,0)$，$C(0,16,0)$，
$D_1(0,0,8)$，$A_1(10,0,8)$，$B_1(10,16,8)$，$C_1(0,16,8)$。

因为 $A_1E=4$，且 $E$ 在 $A_1B_1$ 上，所以 $E$ 的 $y$ 坐标为 $4$，即 $E(10,4,8)$。
因为 $D_1F=4$，且 $F$ 在 $D_1C_1$ 上，所以 $F$ 的 $y$ 坐标为 $4$，即 $F(0,4,8)$。

平面 $\alpha$ 截长方体所得截面为正方形 $EFGH$。
由于 $EF // A_1D_1 // AD$，且 $EF = A_1D_1 = 10$，故正方形边长为 $10$。
又 $EH \perp EF$，且 $EH$ 在平面 $ABB_1A_1$ 内（或其延伸面，此处 $H$ 在 $AB$ 上），
作 $EM \perp AB$ 于 $M$，则 $M(10,4,0)$，$EM = AA_1 = 8$。
在 Rt$\triangle EMH$ 中，$EH=10, EM=8$，故 $MH = \sqrt{10^2-8^2} = 6$。
因为 $M$ 的 $y$ 坐标为 $4$，且 $H$ 在 $AB$ 边上（$y$ 轴方向从 $A$ 到 $B$ 增加），
若 $H$ 在 $M$ 右侧（$y$ 增大方向），则 $y_H = 4+6=10$，此时 $H(10,10,0)$。
验证 $AH$ 长度：$A(10,0,0), H(10,10,0) \Rightarrow AH=10$。符合题意。
同理可得 $G(0,10,0)$。

所以，$\overrightarrow{AF} = F - A = (0-10, 4-0, 8-0) = (-10, 4, 8)$。
平面 $\alpha$ 即平面 $EFGH$。
取平面内两个向量：
$\overrightarrow{EF} = F - E = (-10, 0, 0)$，
$\overrightarrow{EH} = H - E = (0, 6, -8)$。

设平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n} = (x,y,z)$，则：
$\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{EF} = -10x = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{EH} = 6y - 8z = 0 \end{cases}$
解得 $x=0$，取 $z=3$，则 $y=4$。
故法向量 $\vec{n} = (0, 4, 3)$。

设直线 $AF$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $\theta$，则：
$\sin \theta = |\cos \langle \overrightarrow{AF}, \vec{n} \rangle| = \frac{|\overrightarrow{AF} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AF}| |\vec{n}|}$

计算数量积与模长：
$\overrightarrow{AF} \cdot \vec{n} = (-10)\times 0 + 4\times 4 + 8\times 3 = 16 + 24 = 40$。
$|\overrightarrow{AF}| = \sqrt{(-10)^2 + 4^2 + 8^2} = \sqrt{100 + 16 + 64} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$。
$|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = 5$。

代入公式：
$\sin \theta = \frac{40}{6\sqrt{5} \times 5} = \frac{40}{30\sqrt{5}} = \frac{4}{3\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{15}$。

故直线 $AF$ 与平面 $\alpha$ 所成角的正弦值为 $\frac{4\sqrt{5}}{15}$。