（Ⅰ）对于数集 $\{1, 3, 4\}$：
取 $i=2, j=3$，即 $a_2=3, a_3=4$。
计算乘积 $a_2 a_3 = 3 \times 4 = 12$，商 $\frac{a_3}{a_2} = \frac{4}{3}$。
因为 $12 \notin \{1, 3, 4\}$ 且 $\frac{4}{3} \notin \{1, 3, 4\}$，两数均不属于该集合，故 $\{1, 3, 4\}$ 不具有性质 P。
对于数集 $\{1, 2, 3, 6\}$：
任取 $a_i, a_j \in \{1, 2, 3, 6\}$ ($i \le j$)：
- 若 $a_i=1$，则 $\frac{a_j}{1} = a_j \in A$，满足条件。
- 若 $a_i=2, a_j=2$，$\frac{2}{2}=1 \in A$；$a_i=2, a_j=3$，$\frac{3}{2} \notin A$ 但 $2\times3=6 \in A$；$a_i=2, a_j=6$，$\frac{6}{2}=3 \in A$。
- 若 $a_i=3, a_j=3$，$\frac{3}{3}=1 \in A$；$a_i=3, a_j=6$，$\frac{6}{3}=2 \in A$。
- 若 $a_i=6, a_j=6$，$\frac{6}{6}=1 \in A$。
所有情况中，$a_i a_j$ 与 $\frac{a_j}{a_i}$ 至少有一个属于 $A$，故 $\{1, 2, 3, 6\}$ 具有性质 P。
（Ⅱ）证明 $a_1=1$：
由性质 P，对于 $i=j=n$，$a_n a_n$ 与 $\frac{a_n}{a_n}$ 中至少有一个属于 $A$。
因为 $a_n \ge 1$ 且 $n \ge 2$，若 $a_n > 1$，则 $a_n^2 > a_n$，而 $a_n$ 是 $A$ 中最大元素，故 $a_n^2 \notin A$。
因此必须有 $\frac{a_n}{a_n} = 1 \in A$。
又因为 $1 \le a_1 < a_2 < \dots < a_n$，所以 $A$ 中最小元素 $a_1$ 必须为 1，即 $a_1 = 1$。
证明等式：
对于任意 $k \in \{1, 2, \dots, n\}$，考虑 $a_k$ 与 $a_n$。
因为 $a_k \ge 1$，所以 $a_k a_n \ge a_n$。
当 $k < n$ 时，$a_k < a_n \implies a_k a_n > a_n$，故 $a_k a_n \notin A$。
当 $k = n$ 时，$a_n a_n > a_n$（因 $a_n \ge a_2 > a_1=1$），故 $a_n^2 \notin A$。
综上，对任意 $k$，都有 $a_k a_n \notin A$。
根据性质 P，既然乘积不属于 $A$，则商 $\frac{a_n}{a_k}$ 必须属于 $A$。
令 $b_k = \frac{a_n}{a_k}$，则集合 $B = \{ \frac{a_n}{a_1}, \frac{a_n}{a_2}, \dots, \frac{a_n}{a_n} \}$ 是 $A$ 的子集。
由于 $a_1 < a_2 < \dots < a_n$，可知 $\frac{a_n}{a_1} > \frac{a_n}{a_2} > \dots > \frac{a_n}{a_n}$。
即 $B$ 中有 $n$ 个互不相同的元素，且都属于 $A$。
因为 $A$ 也只有 $n$ 个元素，所以 $B = A$。
对应关系为：
$\frac{a_n}{a_n} = a_1$
$\frac{a_n}{a_{n-1}} = a_2$
$\dots$
$\frac{a_n}{a_{n-k+1}} = a_k$
$\dots$
$\frac{a_n}{a_1} = a_n$
一般地，$\frac{a_n}{a_{n-i+1}} = a_i$，即 $a_i a_{n-i+1} = a_n$。
对 $B$ 中元素求和：
$\sum_{k=1}^n \frac{a_n}{a_k} = \sum_{k=1}^n a_k$
$a_n \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^n a_k$
$\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}} = a_n$
即 $\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{a_1^{-1} + a_2^{-1} + \cdots + a_n^{-1}} = a_n$。得证。
（Ⅲ）当 $n=5$ 时，由（Ⅱ）中的对应关系 $a_i a_{6-i} = a_5$：
$i=1 \implies a_1 a_5 = a_5 \implies a_1=1$（已证）。
$i=2 \implies a_2 a_4 = a_5$。
$i=3 \implies a_3 a_3 = a_5 \implies a_3^2 = a_5$。
由此可得 $a_2 a_4 = a_3^2$，即 $\frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3}$。
令公比 $q = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3}$。
我们需要证明 $a_2, a_3, a_4, a_5$ 成等比数列，即需证 $\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} = \frac{a_5}{a_4}$。
已知 $\frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3}$，只需证 $\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}$ 和 $\frac{a_4}{a_3} = \frac{a_5}{a_4}$。
考察 $\frac{a_4}{a_3}$。由上知 $\frac{a_4}{a_3} = \frac{a_3}{a_2}$。
因为 $1 = a_1 < a_2 < a_3$，所以 $1 < \frac{a_3}{a_2} < a_3$（因为 $a_2 \ge 2 \implies a_3/a_2 < a_3/1$ 不一定成立，但 $a_3/a_2 < a_3$ 显然成立，因为 $a_2 > 1$）。
更严谨地：
由 $a_2 a_4 = a_5$ 和 $a_3^2 = a_5$，得 $a_4 = \frac{a_3^2}{a_2}$。
考虑元素 $\frac{a_4}{a_3} = \frac{a_3}{a_2}$。
因为 $a_2 < a_3$，所以 $1 < \frac{a_3}{a_2}$。
又因为 $a_2 \ge a_1=1$ 且 $a_2 < a_3$，所以 $\frac{a_3}{a_2} < a_3$ 是不一定的，但 $\frac{a_3}{a_2}$ 肯定小于 $a_4$ 吗？
$a_4 = a_3 \cdot \frac{a_3}{a_2}$。因为 $a_3 > a_2 \ge 1$，若 $a_2=1$ 则矛盾（$a_1=1$），故 $a_2 > 1$。
实际上，由 $a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5$，
$\frac{a_3}{a_2}$ 是 $A$ 中的某个元素吗？
回顾（Ⅱ）的结论：$\frac{a_5}{a_k} \in A$。
$\frac{a_5}{a_4} = a_2$，$\frac{a_5}{a_3} = a_3$，$\frac{a_5}{a_2} = a_4$，$\frac{a_5}{a_1} = a_5$。
这说明 $a_2, a_3, a_4, a_5$ 分别对应 $\frac{a_5}{a_4}, \frac{a_5}{a_3}, \frac{a_5}{a_2}, \frac{a_5}{a_1}$。
我们要找的是相邻项的比值。
已知 $a_3^2 = a_5 \implies a_3 = \sqrt{a_5}$。
$a_2 a_4 = a_5$。
考虑 $a_2$ 和 $a_3$ 的关系。
考察 $a_2 a_3$。
若 $a_2 a_3 \in A$，则 $a_2 a_3$ 只能是 $a_3, a_4, a_5$ 之一（因为 $a_2 a_3 > a_2 > 1$）。
- 若 $a_2 a_3 = a_3 \implies a_2=1=a_1$，矛盾。
- 若 $a_2 a_3 = a_4$，则 $\frac{a_4}{a_3} = a_2$。
- 若 $a_2 a_3 = a_5$，则结合 $a_2 a_4 = a_5$ 得 $a_3=a_4$，矛盾。
若 $a_2 a_3 \notin A$，则 $\frac{a_3}{a_2} \in A$。
令 $x = \frac{a_3}{a_2}$。因为 $a_2 < a_3$，所以 $x > 1$。
$x$ 必须是 $A$ 中的元素 $a_2, a_3, a_4, a_5$ 之一。
- 若 $x = a_2$，则 $\frac{a_3}{a_2} = a_2 \implies a_3 = a_2^2$。
此时 $\frac{a_4}{a_3} = \frac{a_3}{a_2} = a_2$，即 $a_4 = a_2 a_3 = a_2^3$。
$a_5 = a_3^2 = (a_2^2)^2 = a_2^4$。
同时 $a_5 = a_2 a_4 = a_2 \cdot a_2^3 = a_2^4$。一致。
此时数列为 $1, a_2, a_2^2, a_2^3, a_2^4$，是公比为 $a_2$ 的等比数列。
- 若 $x = a_3$，则 $\frac{a_3}{a_2} = a_3 \implies a_2=1$，矛盾。
- 若 $x = a_4$ 或 $a_5$，则 $\frac{a_3}{a_2} \ge a_4 > a_3 \implies a_2 < 1$，矛盾。
现在需要排除 "$a_2 a_3 \in A$" 中 $a_2 a_3 = a_4$ 的情况是否导致非等比，或者确认它必然导出等比。
如果 $a_2 a_3 = a_4$，则 $\frac{a_4}{a_3} = a_2$。
前面已证 $\frac{a_4}{a_3} = \frac{a_3}{a_2}$。
所以 $\frac{a_3}{a_2} = a_2 \implies a_3 = a_2^2$。
这导出了同样的结果：$a_3 = a_2^2, a_4 = a_2^3, a_5 = a_2^4$。
无论 $a_2 a_3$ 是否属于 $A$，只要利用 $\frac{a_4}{a_3} = \frac{a_3}{a_2}$ 这一关键中间结论，并结合值域限制，都能推出 $a_{k+1}/a_k = a_2$。
具体推导如下：
由（Ⅱ）知 $\frac{a_5}{a_3} = a_3 \implies a_3^2 = a_5$。
$\frac{a_5}{a_4} = a_2 \implies a_4 = \frac{a_5}{a_2} = \frac{a_3^2}{a_2}$。
故 $\frac{a_4}{a_3} = \frac{a_3}{a_2}$。
令此比值为 $q$。则 $a_3 = q a_2, a_4 = q a_3 = q^2 a_2$。
$a_5 = a_3^2 = q^2 a_2^2$。
又 $a_5 = a_2 a_4 = a_2 (q^2 a_2) = q^2 a_2^2$。一致。
现在看 $a_2$ 与 $a_1$ 的关系。
考虑 $\frac{a_3}{a_2} = q$。
$q = \frac{a_3}{a_2}$。因为 $1 < a_2 < a_3$，所以 $1 < q < a_3$（因 $a_2 > 1$）。
$q$ 是否为 $A$ 中元素？
考察 $a_2, a_3$。
若 $a_2 a_3 \in A$，则 $a_2 a_3 \in \{a_3, a_4, a_5\}$。
$a_2 a_3 = a_3 \implies a_2=1$ (舍)。
$a_2 a_3 = a_5 \implies a_2 a_3 = a_3^2 \implies a_2=a_3$ (舍)。
故若 $a_2 a_3 \in A$，必为 $a_4$。
即 $a_4 = a_2 a_3 \implies \frac{a_4}{a_3} = a_2$。
因为 $\frac{a_4}{a_3} = \frac{a_3}{a_2}$，所以 $\frac{a_3}{a_2} = a_2 \implies q = a_2$。
若 $a_2 a_3 \notin A$，则 $\frac{a_3}{a_2} \in A$。
即 $q \in A$。
$q = \frac{a_3}{a_2}$。
因为 $a_1 < a_2 < a_3$，所以 $1 < q < a_3$（因为 $a_2 > 1$）。
$A$ 中小于 $a_3$ 的元素只有 $a_1, a_2$。
$q > 1 = a_1$，故 $q$ 只能等于 $a_2$。
综上，无论哪种情况，都有 $q = a_2$。
即 $\frac{a_3}{a_2} = a_2 \implies a_3 = a_2^2$。
进而 $\frac{a_4}{a_3} = a_2 \implies a_4 = a_2^3$。
$\frac{a_5}{a_4} = \frac{a_2^4}{a_2^3} = a_2$。
$\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_2}{1} = a_2$。
所以 $\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} = \frac{a_5}{a_4} = a_2$。
故 $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ 成等比数列。