（本小题满分 12 分） 设 p, q 为实数， α, β…——2008 高考数学第 21 题答案解析

**（1）**

由一元二次方程求根公式，$\alpha, \beta$ 是 $x^2 - px + q = 0$ 的两个实根，故

$$\alpha = \frac{p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}, \quad \beta = \frac{p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$$

直接计算：

$$\alpha + \beta = \frac{p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2} + \frac{p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2} = p$$

$$\alpha \beta = \frac{p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2} \cdot \frac{p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2} = \frac{p^2 - (p^2 - 4q)}{4} = q$$

证毕。

**（2）**

将递推式 $x_n = px_{n-1} - qx_{n-2}$ 改写为待定系数形式：设 $x_n - sx_{n-1} = t(x_{n-1} - sx_{n-2})$，展开得 $x_n = (s+t)x_{n-1} - stx_{n-2}$。对比原递推式，有

$$s + t = p, \quad st = q$$

因此 $s, t$ 恰好是方程 $x^2 - px + q = 0$ 的两个根，即 $\{s, t\} = \{\alpha, \beta\}$。

先计算初始值用 $\alpha, \beta$ 的表示：$x_1 = p = \alpha + \beta$，$x_2 = p^2 - q = (\alpha+\beta)^2 - \alpha\beta = \alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2$。

**情形一：$\alpha \neq \beta$。**

取 $(s,t) = (\alpha, \beta)$ 和 $(s,t) = (\beta, \alpha)$，分别得到两个等比数列关系：

$$x_n - \alpha x_{n-1} = \beta(x_{n-1} - \alpha x_{n-2})$$
$$x_n - \beta x_{n-1} = \alpha(x_{n-1} - \beta x_{n-2})$$

由此递推：

$$x_n - \alpha x_{n-1} = (x_2 - \alpha x_1)\beta^{n-2}$$
$$x_n - \beta x_{n-1} = (x_2 - \beta x_1)\alpha^{n-2}$$

计算首项系数：

$$x_2 - \alpha x_1 = \alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2 - \alpha(\alpha+\beta) = \beta^2$$
$$x_2 - \beta x_1 = \alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2 - \beta(\alpha+\beta) = \alpha^2$$

代入得：

$$x_n - \alpha x_{n-1} = \beta^n, \quad x_n - \beta x_{n-1} = \alpha^n$$

两式相减：$(\beta - \alpha)x_{n-1} = \beta^n - \alpha^n$，即 $x_{n-1} = \dfrac{\beta^n - \alpha^n}{\beta - \alpha}$。将下标平移一位：

$$x_n = \frac{\beta^{n+1} - \alpha^{n+1}}{\beta - \alpha}$$

**情形二：$\alpha = \beta$。**

此时 $s = t = \alpha$，由上面的推导知 $x_n - \alpha x_{n-1} = \alpha^n$。两边同除以 $\alpha^n$（注意 $\alpha = \beta$ 且为实根，若 $\alpha=0$ 则 $p=q=0$，$x_n=0$ 公式仍成立；若 $\alpha \neq 0$）：

$$\frac{x_n}{\alpha^n} - \frac{x_{n-1}}{\alpha^{n-1}} = 1$$

数列 $\left\{\dfrac{x_n}{\alpha^n}\right\}$ 是公差为 $1$ 的等差数列，首项 $\dfrac{x_1}{\alpha} = \dfrac{2\alpha}{\alpha} = 2$，故

$$\frac{x_n}{\alpha^n} = 2 + (n-1) = n+1$$

$$x_n = (n+1)\alpha^n$$

综上，通项公式为：

$$x_n = \begin{cases} \dfrac{\beta^{n+1} - \alpha^{n+1}}{\beta - \alpha}, & \alpha \neq \beta \\[6pt] (n+1)\alpha^n, & \alpha = \beta \end{cases}$$

**（3）**

当 $p = 1, q = \dfrac{1}{4}$ 时，方程 $x^2 - x + \dfrac{1}{4} = 0$ 的判别式为零，解得 $\alpha = \beta = \dfrac{1}{2}$。

由第（2）问结论：

$$x_n = (n+1)\left(\frac{1}{2}\right)^n$$

前 $n$ 项和：

$$S_n = \sum_{k=1}^{n}(k+1)\left(\frac{1}{2}\right)^k = \sum_{k=1}^{n} k\left(\frac{1}{2}\right)^k + \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^k$$

第二个和为等比数列求和：

$$\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{\frac{1}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$$

第一个和用错位相减法。令 $T_n = \sum_{k=1}^{n} k\left(\frac{1}{2}\right)^k$，则

$$T_n = 1\cdot\frac{1}{2} + 2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \cdots + n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n$$
$$\frac{1}{2}T_n = 1\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \cdots + (n-1)\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n + n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$$

相减：

$$\frac{1}{2}T_n = \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \cdots + \left(\frac{1}{2}\right)^n - n\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$$

$$\frac{1}{2}T_n = \left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right] - n\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$$

$$T_n = 2 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^n - n\left(\frac{1}{2}\right)^n = 2 - (n+2)\left(\frac{1}{2}\right)^n$$

因此：

$$S_n = T_n + \left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right] = 2 - (n+2)\left(\frac{1}{2}\right)^n + 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n = 3 - (n+3)\left(\frac{1}{2}\right)^n$$