如图，四棱锥 P-A B C D 中， P A 底面 A…——2024 高考数学第 17 题答案解析

（1）因为 $PA \perp$ 底面 $ABCD$，且 $AD \subset$ 平面 $ABCD$，所以 $PA \perp AD$．
又已知 $AD \perp PB$，且 $PA \cap PB = P$，$PA, PB \subset$ 平面 $PAB$，
所以 $AD \perp$ 平面 $PAB$．
因为 $AB \subset$ 平面 $PAB$，所以 $AD \perp AB$．

在 $\triangle ABC$ 中，由 $AC=2, BC=1, AB=\sqrt{3}$，
满足 $BC^2 + AB^2 = 1 + 3 = 4 = AC^2$，
根据勾股定理逆定理可知 $BC \perp AB$．
因为 $AD \perp AB$ 且 $BC \perp AB$，且 $AD, BC$ 均在底面 $ABCD$ 内，
所以 $AD // BC$．
又因为 $AD \not\subset$ 平面 $PBC$，$BC \subset$ 平面 $PBC$，
所以 $AD //$ 平面 $PBC$．

（2）过点 $D$ 作 $DE \perp AC$ 于点 $E$，过点 $E$ 作 $EF \perp PC$ 于点 $F$，连接 $DF$．
因为 $PA \perp$ 底面 $ABCD$，所以平面 $PAC \perp$ 底面 $ABCD$．
又平面 $PAC \cap$ 底面 $ABCD = AC$，且 $DE \perp AC$，$DE \subset$ 底面 $ABCD$，
所以 $DE \perp$ 平面 $PAC$．
因为 $PC \subset$ 平面 $PAC$，所以 $DE \perp PC$．
又 $EF \perp PC$，$DE \cap EF = E$，
所以 $PC \perp$ 平面 $DEF$，进而 $PC \perp DF$．
故 $\angle DFE$ 即为二面角 $A-CP-D$ 的平面角．

由题意知 $\sin \angle DFE = \frac{\sqrt{42}}{7}$，
则 $\cos \angle DFE = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{42}}{7})^2} = \sqrt{\frac{7}{49}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$，
所以 $\tan \angle DFE = \frac{\sin \angle DFE}{\cos \angle DFE} = \sqrt{6}$．
在 Rt$\triangle DEF$ 中，$DE = EF \cdot \tan \angle DFE = \sqrt{6} EF$．

设 $AD = x$．
因为 $AD \perp DC$，所以在 Rt$\triangle ADC$ 中，$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{4 - x^2}$．
由等面积法，$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot CD = \frac{1}{2} AC \cdot DE$，
即 $x \sqrt{4-x^2} = 2 DE$，解得 $DE = \frac{x \sqrt{4-x^2}}{2}$．
在 Rt$\triangle ADE$ 中，$AE = \sqrt{AD^2 - DE^2} = \sqrt{x^2 - \frac{x^2(4-x^2)}{4}} = \sqrt{\frac{x^4}{4}} = \frac{x^2}{2}$．
所以 $CE = AC - AE = 2 - \frac{x^2}{2} = \frac{4-x^2}{2}$．

在 Rt$\triangle PAC$ 中，$PA=AC=2$，所以 $\triangle PAC$ 为等腰直角三角形，$\angle PCA = 45^\circ$．
在 Rt$\triangle EFC$ 中，$EF = CE \cdot \sin 45^\circ = \frac{4-x^2}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}(4-x^2)}{4}$．

代入关系式 $DE = \sqrt{6} EF$：
$\frac{x \sqrt{4-x^2}}{2} = \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}(4-x^2)}{4}$
$\frac{x \sqrt{4-x^2}}{2} = \frac{\sqrt{12}(4-x^2)}{4} = \frac{2\sqrt{3}(4-x^2)}{4} = \frac{\sqrt{3}(4-x^2)}{2}$
$x \sqrt{4-x^2} = \sqrt{3}(4-x^2)$
因为 $x < 2$，所以 $4-x^2 > 0$，两边同除以 $\sqrt{4-x^2}$ 得：
$x = \sqrt{3} \sqrt{4-x^2}$
平方得 $x^2 = 3(4-x^2) \Rightarrow 4x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 3$．
解得 $x = \sqrt{3}$．
即 $AD = \sqrt{3}$．