2014_新课标II Paper
14．如图，两气缸AB粗细均匀，等高且内壁光滑，其下部由体积可忽略的细管连通；A的直径为B 的2倍，A上端封闭，B上端与大气连通；两气缸除 A顶部导热外，其余部分均绝热。两气缸中各有一厚度可忽略的绝热轻活塞a、b，活塞下方充有氮气，活塞 a 上方充有氧气；当大气压为 $\mathsf { P } _ { 0 } { \mathrm { : } }$ ，外界和气缸内气体温度均为 $7 ^ { \circ } \mathrm { C } .$ 且平衡时，活塞a 离气缸顶的距离是气缸高度的 $\frac { 1 } { 4 }$ ，活塞b在气缸的正中央。
（ⅰ）现通过电阻丝缓慢加热氮气，当活塞b升至顶部时，求氮气的温度；
（ⅱ）继续缓慢加热，使活塞a上升，当活塞a 上升的距离是气缸高度的 $\frac { 1 } { 1 6 }$ 时，求氧气的压强。
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设气缸 A 的容积为 $V_0$，高度为 $H$。由于 A 的直径是 B 的 2 倍，根据圆柱体体积公式 $V = \pi (\frac{d}{2})^2 H$，可知 B 的横截面积是 A 的 $\frac{1}{4}$，故气缸 B 的容积为 $\frac{1}{4}V_0$。
初始状态时，外界和气缸内气体温度均为 $T_1 = 273 + 7 = 280 \text{ K}$。
（ⅰ）加热氮气过程中，活塞 b 缓慢上升。由于活塞 b 上方与大气连通且活塞质量不计，活塞 b 下方氮气的压强始终等于大气压 $P_0$。在此阶段，活塞 a 上方的氧气通过导热顶部与外界热交换，温度保持 $T_1$ 不变，且活塞 a 受力平衡条件未变（下方氮气压力等于上方氧气压力加活塞重力，因活塞轻质忽略重力，且初始平衡时 $P_{N_2}=P_{O_2}=P_0$），故在活塞 b 到达顶部前，活塞 a 保持静止，氮气经历等压膨胀过程。
氮气初态体积 $V_1$ 为 A 中下部体积与 B 中下部体积之和：
$$V_1 = \frac{3}{4}V_0 + \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}V_0 = \frac{7}{8}V_0$$
当活塞 b 升至顶部时，氮气末态体积 $V_2$ 为：
$$V_2 = \frac{3}{4}V_0 + \frac{1}{4}V_0 = V_0$$
根据盖-吕萨克定律（等压变化）：
$$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$$
代入数据解得：
$$T_2 = \frac{V_2}{V_1} T_1 = \frac{V_0}{\frac{7}{8}V_0} \times 280 \text{ K} = 320 \text{ K}$$
（ⅱ）继续缓慢加热，活塞 b 已处于顶部无法移动，氮气体积进一步膨胀将推动活塞 a 向上移动。此时活塞 a 上方的氧气被压缩。由于气缸 A 顶部导热，氧气温度始终保持为 $T_1 = 280 \text{ K}$，经历等温压缩过程。
氧气初态（即第（ⅰ）问结束时的状态）：
压强 $P_1' = P_0$
体积 $V_1' = \frac{1}{4}V_0$ （活塞 a 距离顶部 $\frac{1}{4}H$）
当活塞 a 上升距离为 $\frac{1}{16}H$ 时，氧气末态体积 $V_2'$ 为：
$$V_2' = (\frac{1}{4} - \frac{1}{16})V_0 = \frac{3}{16}V_0$$
设此时氧气压强为 $P_2'$，根据玻意耳定律（等温变化）：
$$P_1' V_1' = P_2' V_2'$$
$$P_0 \times \frac{1}{4}V_0 = P_2' \times \frac{3}{16}V_0$$
解得：
$$P_2' = \frac{4}{3}P_0$$