（本小题满分 14 分） 已知数列 a_ n 的首项 a_…——2008 高考数学第 22 题答案解析

**（I）**

由 $a_{n+1}=\dfrac{3a_n}{2a_n+1}$，两边取倒数得

$$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2a_n+1}{3a_n}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{a_n}.$$

两边同减 $1$：

$$\frac{1}{a_{n+1}}-1=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a_n}-1\right).$$

又 $\dfrac{1}{a_1}-1=\dfrac{5}{3}-1=\dfrac{2}{3}$，故数列 $\left\{\dfrac{1}{a_n}-1\right\}$ 是以 $\dfrac{2}{3}$ 为首项、$\dfrac{1}{3}$ 为公比的等比数列。因此

$$\frac{1}{a_n}-1=\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{2}{3^n},$$

从而

$$a_n=\frac{3^n}{3^n+2}.$$

**（II）**

记右端为关于 $x$ 的函数

$$f(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}\left(\frac{2}{3^n}-x\right), \quad x>0.$$

对 $f(x)$ 求导：

$$f'(x)=-\frac{1}{(1+x)^2}-\frac{-(1+x)^2-\left(\frac{2}{3^n}-x\right)\cdot 2(1+x)}{(1+x)^4}.$$

化简分子部分：

$$f'(x)=-\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{2\left(\frac{2}{3^n}-x\right)}{(1+x)^3}=\frac{2\left(\frac{2}{3^n}-x\right)}{(1+x)^3}.$$

当 $0<x<\dfrac{2}{3^n}$ 时，$f'(x)>0$；当 $x>\dfrac{2}{3^n}$ 时，$f'(x)<0$。

故 $f(x)$ 在 $x=\dfrac{2}{3^n}$ 处取得最大值：

$$f\!\left(\frac{2}{3^n}\right)=\frac{1}{1+\frac{2}{3^n}}-\frac{1}{\left(1+\frac{2}{3^n}\right)^2}\cdot 0=\frac{3^n}{3^n+2}=a_n.$$

因此对任意 $x>0$，$f(x)\leqslant a_n$，即

$$a_n\geqslant\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}\left(\frac{2}{3^n}-x\right).$$

**（III）**

由（II），对任意 $x>0$ 及每个 $k=1,2,\dots,n$，均有

$$a_k\geqslant\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}\left(\frac{2}{3^k}-x\right).$$

对 $k$ 从 $1$ 到 $n$ 求和：

$$\sum_{k=1}^{n}a_k\geqslant\frac{n}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{3^k}-nx\right).$$

取 $x=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{2}{3^k}$，此时括号内为零，不等式化为

$$\sum_{k=1}^{n}a_k\geqslant\frac{n}{1+x}.$$

计算所取的 $x$ 值：

$$x=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{3^k}=\frac{1}{n}\cdot\frac{\frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{3^n}\right).$$

由于 $n\geqslant 1$，有 $\dfrac{1}{3^n}>0$，故 $x>0$，满足（II）的条件。代入得

$$\sum_{k=1}^{n}a_k\geqslant\frac{n}{1+\frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)}=\frac{n^2}{n+1-\frac{1}{3^n}}.$$

因为 $\dfrac{1}{3^n}>0$，所以 $n+1-\dfrac{1}{3^n}<n+1$，从而

$$\frac{n^2}{n+1-\frac{1}{3^n}}>\frac{n^2}{n+1}.$$

综上，

$$a_1+a_2+\cdots+a_n>\frac{n^2}{n+1}.$$