已知椭圆 : x^ 2 a^ 2 + y^ 2 5 =1(…——2025 高考数学第 20 题答案解析

（1）由椭圆方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{5}=1$ 可知 $b^2=5$。
因为焦点坐标为 $(2,0)$，所以半焦距 $c=2$。
根据椭圆性质 $a^2 = b^2 + c^2$，得 $a^2 = 5 + 4 = 9$，即 $a=3$（满足 $a>\sqrt{5}$）。
故离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}$。

（2）当 $a=4$ 时，右顶点 $A$ 的坐标为 $(4,0)$。
设点 $P$ 的坐标为 $(x_P, y_P)$，已知 $M(0, m)$。
由向量关系 $\overrightarrow{PA} = 2\overrightarrow{MP}$，可得：
$(4-x_P, -y_P) = 2(x_P, y_P-m) = (2x_P, 2y_P-2m)$。
由此建立方程组：
$\begin{cases} 4-x_P = 2x_P \\ -y_P = 2y_P - 2m \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x_P = \frac{4}{3} \\ y_P = \frac{2m}{3} \end{cases}$。
因为点 $P$ 在椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{5} = 1$ 上，代入坐标得：
$\frac{(\frac{4}{3})^2}{16} + \frac{(\frac{2m}{3})^2}{5} = 1$
化简得 $\frac{1}{9} + \frac{4m^2}{45} = 1$，即 $\frac{4m^2}{45} = \frac{8}{9}$。
解得 $m^2 = 10$。
因为 $m>0$，所以 $m=\sqrt{10}$。

（3）由题意，直线 $l$ 是线段 $AM$ 的中垂线，且斜率为 $2$。
因为 $A(a, 0)$，$M(0, m)$，所以直线 $AM$ 的斜率 $k_{AM} = \frac{m-0}{0-a} = -\frac{m}{a}$。
由垂直关系 $k_{AM} \cdot k_l = -1$，得 $-\frac{m}{a} \cdot 2 = -1$，即 $a = 2m$。
线段 $AM$ 的中点 $Q$ 坐标为 $(\frac{a}{2}, \frac{m}{2})$，将 $a=2m$ 代入得 $Q(m, \frac{m}{2})$。
直线 $l$ 过点 $Q$ 且斜率为 $2$，其方程为：
$y - \frac{m}{2} = 2(x-m) \Rightarrow y = 2x - \frac{3}{2}m$。
联立直线 $l$ 与椭圆方程 $\frac{x^2}{4m^2} + \frac{y^2}{5} = 1$（此处 $a^2=4m^2$）：
$\begin{cases} y = 2x - \frac{3}{2}m \\ 5x^2 + 4m^2y^2 = 20m^2 \end{cases}$
消去 $y$ 得：$5x^2 + 4m^2(2x - \frac{3}{2}m)^2 = 20m^2$
整理得：$(16m^2+5)x^2 - 24m^3x + (9m^4 - 20m^2) = 0$。
设 $C(x_1, y_1), D(x_2, y_2)$，由韦达定理：
$x_1+x_2 = \frac{24m^3}{16m^2+5}, \quad x_1x_2 = \frac{9m^4-20m^2}{16m^2+5}$。
要使 $\angle CMD$ 为钝角，需满足 $\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MD} < 0$ 且 $C, M, D$ 不共线（显然不共线，因 $M$ 不在直线 $l$ 上）。
$\overrightarrow{MC} = (x_1, y_1-m), \overrightarrow{MD} = (x_2, y_2-m)$。
将 $y_i = 2x_i - \frac{3}{2}m$ 代入，得 $y_i - m = 2x_i - \frac{5}{2}m$。
数量积 $\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MD} = x_1x_2 + (2x_1 - \frac{5}{2}m)(2x_2 - \frac{5}{2}m)$
$= 5x_1x_2 - 5m(x_1+x_2) + \frac{25}{4}m^2$。
代入韦达定理结果：
$= 5 \cdot \frac{9m^4-20m^2}{16m^2+5} - 5m \cdot \frac{24m^3}{16m^2+5} + \frac{25}{4}m^2$
$= \frac{45m^4 - 100m^2 - 120m^4}{16m^2+5} + \frac{25}{4}m^2$
$= \frac{-75m^4 - 100m^2}{16m^2+5} + \frac{25m^2(16m^2+5)}{4(16m^2+5)}$
$= \frac{4(-75m^4 - 100m^2) + 25m^2(16m^2+5)}{4(16m^2+5)}$
$= \frac{-300m^4 - 400m^2 + 400m^4 + 125m^2}{4(16m^2+5)}$
$= \frac{100m^4 - 275m^2}{4(16m^2+5)} < 0$。
因为 $m>0$ 且分母恒正，只需分子小于零：
$100m^4 - 275m^2 < 0 \Rightarrow m^2(100m^2 - 275) < 0$。
解得 $m^2 < \frac{275}{100} = \frac{11}{4}$，即 $0 < m < \frac{\sqrt{11}}{2}$。
又因为 $a = 2m$，所以 $0 < a < \sqrt{11}$。
结合题目条件 $a > \sqrt{5}$，得 $a$ 的取值范围为 $(\sqrt{5}, \sqrt{11})$。