高考数学圆锥曲线真题专题，共 870 道真实高考题，覆盖 19 个年份、431 套试卷；含高频解法、常见易错点、难度分布与答案解析。按数学题型和年份浏览“圆锥曲线”相关真题，查看方法标签、易错提醒和同类题入口。可从页面中的相关入口继续查看详情，并按需要筛选和回看。页面信息以当前展示内容为准，方便继续浏览相关页面。
难度分布：区分题 853 questions · 压轴题 16 题 · 送分题 1 questions
9. 已知双曲线 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1 _ { ( { \mathrm { a } } > 0 , { \mathrm { b } } > 0 ) }$ 的左焦点为F,A是右顶点,P是双曲线上一 点,满足 $| F A | = | F P | , \angle F A P = 3 0 ^ { \circ }$ ，则双曲线离心率为()
D
9． 已知 $\odot O: x^{2}+y^{2}=1, \odot A: x^{2}+y^{2}-6 x-8 y+k=0$ ，则
BC
18．椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>1)$ ，过右焦点垂直于 $x$ 轴的直线被 $E$ 所截线段长为 $\sqrt{2}$ 。
（1） 求 $E$ 的离心率；
（2） $O$ 为坐标原点，给定点 $G\left(t_{0}, 0\right)\left(t_{0} \neq 0\right) ; A\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y_{0} \neq 0\right)$ 在 $E$ 上，过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，交于点 $B, A O$与 $G B$ 交于点 $P$ 。当 $A$ 在 $E$ 上运动时，$P$ 的轨迹为 $M$ 。
（i） 求 $M$ 的方程；
（ii） $M$ 是否有中心点？当 $t_{0}$ 为何值时，$M$ 有中心点？当 $M$ 有中心点时，平移 $M$ 到 $M^{\prime}$ ，使 $O$ 为 $M^{\prime}$ 的中心点，说明 $M^{\prime}$ 为何形状？
$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$；轨迹方程及中心分类见解答
12． 双曲线 $5 x^{2}-6 y^{2}=1$ 的离心率为 $\_\_\_\_$。
$\frac{\sqrt{66}}{6}$
11. 抛物线 $y ^ { 2 } { = } 2 p x ( p > 0 )$ 的顶点到焦点的距离为3，则 $p =$
3．双曲线 $x^{2}-4 y^{2}=4$ 的离心率为
B
19．已知椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆 $E$ 上的点到两焦点的距离之和为 4 。
（1） 求椭圆 $E$ 的方程；
② 设 $O$ 为坐标原点，点 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0} \neq 0\right)$ 在椭圆 $E$ 上，直线 $x_{0} x+2 y_{0} y-4=0$ 与直线 $y=2$ ，
$y=-2$ 分别交于点 $A, B$ ．设 $\triangle O A M$ 与 $\square O B M$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，比较 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 与 $\frac{|O A|}{|O B|}$ 的大小．
①$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ② $\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{|O A|}{|O B|}$
20．已知椭圆 $\Gamma: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{5}=1(a>\sqrt{5}), M(0, m)(m>0), \mathrm{A}$ 是 $\Gamma$ 的右顶点．
（1）若 $\Gamma$ 的焦点是 $(2,0)$ ，求离心率 e ；
（2）若 $a=4$ ，且 $\Gamma$ 上存在一点 P ，满足 $\overrightarrow{P A}=2 \overrightarrow{M P}$ ，求 m；
（3）若 AM 中垂线 1 的斜率为 2 ， 1 与 $\Gamma$ 交于 $\mathrm{C} , \mathrm{D}$ 两点，$\angle C M D$ 为针角，求 a 的取值范围．
(1) 见解析; (2) 见解析; (3) 见解析
12. $l _ { 1 } : x - y + 6 = 0$ ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与 $( x + 1 ) ^ { 2 } + ( y - 3 ) ^ { 2 } = r ^ { 2 }$ 交于C、D两点， $| A B | =$ $3 | C D |$ ,则r=
2
9．双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，以右焦点 $F_{2}$ 为焦点的抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$ 与双曲线交于另一象限点为 $P$ ，若 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=3\left|F_{1} F_{2}\right|$ ，则双曲线的离心率 $e=$
A
12． $l_{1}: x-y+6=0$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，与 $(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=r^{2}$ 交于 C、D 两点，
$|A B|=3|C D|$ ，则 $r=$ $\_\_\_\_$。
2
3．双曲线虚轴长是实轴长的 $\sqrt{7}$ 倍，求离心率为
D
7．已知圆 $x^{2}+(y+2)^{2}=r^{2}(r>0)$ 上到直线 $y=\sqrt{3} x+2$ 的距离为 1 的点有且仅有 2 个，则 $r$的取值范围是
B
10． 设抛物线 $C: y^{2}=6 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $A , B$ ，过 $F$ 且垂直于 $A B$ 的直线交 $l: y=-\frac{3}{2} x$ 于 $E$ ，过 $A$ 作 $x=-\frac{3}{2}$ 的垂线，垂足为 $D$ ，则
ACD $F\left(\frac{3}{2}, 0\right)$ ，由抛物线的定义知 $A D=A F$ ， A 对． 
$A B \geq 2 p=6$ ，C 对． 令…
6．抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 焦点 $F, A \in C$ ，过 $A$ 作 $C$ 准线的垂线，垂足为 $B$ ．若 $l_{B F}: y=-2 x+2$ ，则 $|A F|=$
C
3. 求圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 x + 6 y = 0$ 的圆心到 $x - y + 2 = 0$ 的距离（ ）
C
11. 已知抛物线 $y ^ { 2 } = 1 6 x$ ，则焦点坐标为
(4,0)
19. 已知椭圆方程 $C \colon \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 \bigl ( a > b > 0 \bigr )$ ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过 $\left( 0 , t \right) \left( t > \sqrt { 2 } \right)$ 的直线l与椭圆交于A，B，C(0,1)，连接AC交椭圆于D.
（1）求椭圆方程和离心率；
（2）若直线BD 的斜率为0，求t
① $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 , e = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ > ② $t = 2$
3．求圆 $x^{2}+y^{2}-2 x+6 y=0$ 的圆心到 $x-y+2=0$ 的距离
C
11．已知抛物线 $y^{2}=16 x$ ，则焦点坐标为 $\_\_\_\_$。
$(4,0)$
13．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$ ，则过 $(3,0)$ 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 $\_\_\_\_$ ．
$\pm \frac{1}{2}$
19．已知椭圆方程 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，焦点和短轴端点构成边长为 2 的正方形，过 $(0, t)(t>\sqrt{2})$
的直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B, C(0,1)$ ，连接 $A C$ 交椭圆于 $D$ ．
（1）求椭圆方程和离心率；
（2）若直线 $B D$ 的斜率为 0 ，求 $t$ ．
(1) $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1, e=\frac{\sqrt{2}}{2}$; (2) $t=2$
5. 已知双曲线 $C: \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的上、下焦点分别为 $F_1(0,4), F_2(0,-4)$ ，点 $P(-6,4)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）
C
6. 已知双曲线 $C : \frac { y ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的上、下焦点分别为 $F _ { 1 } ( 0 , 4 ) , F _ { 2 } ( 0 , - 4 )$ ，点 $P \left( - 6 , 4 \right)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
C
12. 已知 $b$ 是 $a, c$ 的等差中项, 直线 $ax + by + c = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 4y - 1 = 0$ 交于 $A, B$ 两点, 则 $\left|AB\right|$ 的最小值为 ( )
C
18．设椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$，点 $M\left(1,\dfrac{3}{2}\right)$ 在 $C$ 上，且 $MF\perp x$ 轴．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过点 $P(4,0)$ 的直线与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$N$ 为线段 $FP$ 的中点，直线 $NB$ 交直线 $MF$ 于点 $Q$，证明：$AQ\perp y$ 轴．
(1) $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1$; (2) 证明见解析
22. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho = \rho \cos \theta + 1$ .
(1) 写出 C 的直角坐标方程;
②设直线 $l$ ： $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\ y = t + a \end{array} \right.$ （ $t$ 为参数)，若 $C$ 与 $l$ 相交于 $A,B$ 两点，若 $\left|AB\right| = 2$ ，求 $a$ 的值.
(1) $y^{2}=2x+1$ >; (2) $a = \frac{3}{4}$
5．已知双曲线 $C: \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的上、下焦点分别为 $F_{1}(0,4), F_{2}(0,-4)$ ，点 $P(-6,4)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
C
12．已知 $b$ 是 $a, c$ 的等差中项，直线 $a x+b y+c=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}+4 y-1=0$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为
C
20．设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $M\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在 $C$ 上，且 $M F \perp x$ 轴．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过点 $P(4,0)$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$N$ 为线段 $F P$ 的中点，直线 $N B$ 交直线 $M F$ 于点 $Q$ ，证明：$A Q \perp y$ 轴．
(1) $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$; (2) 证明见解析
22．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=\rho \cos \theta+1$ ．
（1）写出 $C$ 的直角坐标方程；
②设直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t+a\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），若 $C$ 与 $l$ 相交于 $A , B$ 两点，若 $|A B|=2$ ，求 $a$ 的值．
(1) $y^{2}=2 x+1$; (2) $a=\frac{3}{4}$
6．已知双曲线 $C: \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的上、下焦点分别为 $F_{1}(0,4), F_{2}(0,-4)$ ，点 $P(-6,4)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为
C
18．设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $M\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在 $C$ 上，且 $M F \perp x$ 轴．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过点 $P(4,0)$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，$N$ 为线段 $F P$ 的中点，直线 $N B$ 交直线 $M F$ 于点 $Q$ ，证明：$A Q \perp y$ 轴．
(1) $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$; (2) 证明见解析
19．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=\rho \cos \theta+1$ ．
（1）写出 $C$ 的直角坐标方程；
②设直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t+a\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），若 $C$ 与 $l$ 相交于 $A , B$ 两点，若 $|A B|=2$ ，求 $a$ 的值．
(1) $y^{2}=2 x+1$; (2) $a=\frac{3}{4}$
8. 双曲线 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的左、右焦点分别为 $F _ { 1 } , \ F _ { 2 } . P$ 是双曲线右支上一点，且直线 $P F _ { 2 }$ 的斜率为2 $\triangle P F _ { 1 } F _ { 2 }$ 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
C
12. $( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 5$ 的圆心与抛物线 $y ^ { 2 } = 2 p x ( p > 0 )$ 的焦点F 重合，A为两曲线的交点，则原点到直线$A F$ 的距离为
$\frac { 4 } { 5 } \# \# 0 . 8$
8．双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2} \cdot P$ 是双曲线右支上一点，且直线 $P F_{2}$ 的斜率为 2．$\triangle P F_{1} F_{2}$ 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为（）
C
12．$(x-1)^{2}+y^{2}=25$ 的圆心与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点 $F$ 重合， A 为两曲线的交点，则原点到直线 $A F$ 的距离为 $\_\_\_\_$ ．
$\frac{4}{5} \# 0.8$
18．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 椭圆的离心率 $e=\frac{1}{2}$ ．左顶点为 A ，下顶点为 $B, C$ 是线段 $O B$ 的中点，其中 $S_{\triangle A B C}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．
（1）求椭圆方程．
（2）过点 $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ 的动直线与椭圆有两个交点 $P, Q$ 。在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得 $\overrightarrow{T P} \cdot \overrightarrow{T Q} \leq 0$ 恒成立．若存在求出这个 $T$ 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
①$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{9}=1$ （2）存在 $T(0, t)\left(-3 \leq t \leq \frac{3}{2}\right)$ ，使得 $\overrightarrow{T P} \cdot \overrightarrow{T Q} \leq 0$ 恒成立． ##
11．造型 $\boldsymbol{\chi}$ 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 $\boldsymbol{C}$ 的一部分。已知 $\boldsymbol{C}$ 过坐标原点 $\boldsymbol{O}$ ．且 $\boldsymbol{C}$ 上的点满足横坐标大于 -2 ，到点 $F(2,0)$ 的距离与到定直线 $x=a(a<0)$ 的距离之积为 4 ，则（ ）
ABD