（13 分）如图是预测到的某地 5 月 1 日至 14 日…——2013 高考数学第 16 题答案解析

由折线图可知，5月1日至14日的空气质量指数（AQI）依次为：
1日：86，2日：25，3日：57，4日：143，5日：220，6日：160，7日：40，
8日：217，9日：160，10日：121，11日：158，12日：86，13日：79，14日：37。

其中，AQI $< 100$（优良）的日期为：1, 2, 3, 7, 12, 13, 14日，共7天。
AQI $\ge 100$（非优良）的日期为：4, 5, 6, 8, 9, 10, 11日，共7天。

此人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达，共有13种等可能的选择，设到达日期为 $i$ ($i=1, 2, \dots, 13$)，则停留期间为第 $i$ 天和第 $i+1$ 天。

**（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率**

在选择的13个到达日期（1日至13日）中，当日空气质量优良（AQI $< 100$）的日期有：
1日(86), 2日(25), 3日(57), 7日(40), 12日(86), 13日(79)。
共计6天。

故所求概率 $P = \frac{6}{13}$。

**（Ⅱ）求 $X$ 的分布列与数学期望**

$X$ 表示此人停留期间（2天）空气质量优良的天数，$X$ 的可能取值为 0, 1, 2。

我们逐一分析这13种情况中，停留两天内优良天数 $X$ 的值：

1. **若 $X=0$**：表示两天均为非优良。
* 到达4日：停留4, 5日 (143, 220) $\rightarrow$ 非优, 非优。
* 到达5日：停留5, 6日 (220, 160) $\rightarrow$ 非优, 非优。
* 到达8日：停留8, 9日 (217, 160) $\rightarrow$ 非优, 非优。
* 到达9日：停留9, 10日 (160, 121) $\rightarrow$ 非优, 非优。
* 到达10日：停留10, 11日 (121, 158) $\rightarrow$ 非优, 非优。
* 共5种情况。
* $P(X=0) = \frac{5}{13}$。

2. **若 $X=2$**：表示两天均为优良。
* 到达1日：停留1, 2日 (86, 25) $\rightarrow$ 优, 优。
* 到达2日：停留2, 3日 (25, 57) $\rightarrow$ 优, 优。
* 到达12日：停留12, 13日 (86, 79) $\rightarrow$ 优, 优。
* 到达13日：停留13, 14日 (79, 37) $\rightarrow$ 优, 优。
* 共4种情况。
* $P(X=2) = \frac{4}{13}$。

3. **若 $X=1$**：表示一天优良，一天非优良。
* 剩余情况即为 $X=1$，数量为 $13 - 5 - 4 = 4$ 种。
* 具体验证：
* 到达3日：停留3, 4日 (57, 143) $\rightarrow$ 优, 非优。
* 到达6日：停留6, 7日 (160, 40) $\rightarrow$ 非优, 优。
* 到达7日：停留7, 8日 (40, 217) $\rightarrow$ 优, 非优。
* 到达11日：停留11, 12日 (158, 86) $\rightarrow$ 非优, 优。
* 共4种情况。
* $P(X=1) = \frac{4}{13}$。

综上，$X$ 的分布列为：

数学期望 $E(X)$ 为：
$$ E(X) = 0 \times \frac{5}{13} + 1 \times \frac{4}{13} + 2 \times \frac{4}{13} = \frac{4 + 8}{13} = \frac{12}{13} $$

**（）判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大**

方差反映数据的波动程度。观察折线图，数据波动最剧烈的区域出现在5月上旬和8月上旬。
比较几个波动较大的连续三天区间：
* **5月5日开始**（5, 6, 7日）：数据为 220, 160, 40。
平均值 $\bar{x}_1 = \frac{220+160+40}{3} = 140$。
方差 $s_1^2 = \frac{1}{3}[(220-140)^2 + (160-140)^2 + (40-140)^2] = \frac{1}{3}[6400 + 400 + 10000] = \frac{16800}{3} = 5600$。
* **5月6日开始**（6, 7, 8日）：数据为 160, 40, 217。
平均值 $\bar{x}_2 = \frac{160+40+217}{3} = \frac{417}{3} = 139$。
方差 $s_2^2 = \frac{1}{3}[(160-139)^2 + (40-139)^2 + (217-139)^2] = \frac{1}{3}[441 + 9801 + 6084] = \frac{16326}{3} = 5442$。
* **8月8日开始**（8, 9, 10日）：数据为 217, 160, 121。
平均值 $\bar{x}_3 = \frac{217+160+121}{3} = 166$。
方差 $s_3^2 = \frac{1}{3}[(217-166)^2 + (160-166)^2 + (121-166)^2] = \frac{1}{3}[2601 + 36 + 2025] = \frac{4662}{3} = 1554$。

通过对比及观察图形极差（最大值与最小值之差），5日开始的三天极差为 $220-40=180$，6日开始的三天极差为 $217-40=177$，其他区间极差均较小。且计算表明5日开始的方差最大。

故从 **5月5日** 开始连续三天的空气质量指数方差最大。