（14分）已知函数 f ( x ) = 1 4 x ^ 3…——2019 高考数学第 20 题答案解析

（Ⅰ）由 $f(x) = \frac{1}{4}x^3 - x^2 + x$，求导得：
$$ f'(x) = \frac{3}{4}x^2 - 2x + 1 $$
令 $f'(x) = 1$，即 $\frac{3}{4}x^2 - 2x + 1 = 1$，化简得：
$$ \frac{3}{4}x^2 - 2x = 0 \implies x(\frac{3}{4}x - 2) = 0 $$
解得 $x_1 = 0$ 或 $x_2 = \frac{8}{3}$。

当 $x=0$ 时，$f(0)=0$，切点为 $(0,0)$，切线方程为 $y-0=1\cdot(x-0)$，即 $y=x$。
当 $x=\frac{8}{3}$ 时，$f(\frac{8}{3}) = \frac{1}{4}(\frac{8}{3})^3 - (\frac{8}{3})^2 + \frac{8}{3} = \frac{128}{27} - \frac{64}{9} + \frac{8}{3} = \frac{128 - 192 + 72}{27} = \frac{8}{27}$。
切点为 $(\frac{8}{3}, \frac{8}{27})$，切线方程为 $y - \frac{8}{27} = 1 \cdot (x - \frac{8}{3})$，即 $y = x - \frac{8}{3} + \frac{8}{27} = x - \frac{72-8}{27} = x - \frac{64}{27}$。

故所求切线方程为 $y=x$ 和 $y=x-\frac{64}{27}$。

（Ⅱ）要证 $x-6 \leqslant f(x) \leqslant x$，即证 $-6 \leqslant f(x)-x \leqslant 0$。
令 $g(x) = f(x) - x = \frac{1}{4}x^3 - x^2$，其中 $x \in [-2, 4]$。
对 $g(x)$ 求导：
$$ g'(x) = \frac{3}{4}x^2 - 2x = \frac{1}{4}x(3x-8) $$
令 $g'(x)=0$，解得 $x=0$ 或 $x=\frac{8}{3}$。

分析 $g(x)$ 在区间 $[-2, 4]$ 上的单调性：
1. 当 $x \in [-2, 0)$ 时，$g'(x) > 0$，$g(x)$ 单调递增；
2. 当 $x \in (0, \frac{8}{3})$ 时，$g'(x) < 0$，$g(x)$ 单调递减；
3. 当 $x \in (\frac{8}{3}, 4]$ 时，$g'(x) > 0$，$g(x)$ 单调递增。

计算关键点的函数值：
$g(-2) = \frac{1}{4}(-8) - 4 = -2 - 4 = -6$；
$g(0) = 0$；
$g(\frac{8}{3}) = \frac{1}{4}(\frac{512}{27}) - \frac{64}{9} = \frac{128}{27} - \frac{192}{27} = -\frac{64}{27}$；
$g(4) = \frac{1}{4}(64) - 16 = 16 - 16 = 0$。

比较可知，$g(x)$ 的最大值为 $0$，最小值为 $-6$（因为 $-\frac{64}{27} \approx -2.37 > -6$）。
所以对于任意 $x \in [-2, 4]$，都有 $-6 \leqslant g(x) \leqslant 0$。
即 $-6 \leqslant f(x) - x \leqslant 0$，亦即 $x-6 \leqslant f(x) \leqslant x$。得证。

（Ⅲ）由题意 $F(x) = |f(x) - (x+a)| = |(f(x)-x) - a| = |g(x) - a|$。
由（Ⅱ）知，当 $x \in [-2, 4]$ 时，$g(x)$ 的值域为 $[-6, 0]$。
令 $t = g(x)$，则 $t \in [-6, 0]$。问题转化为求函数 $h(t) = |t-a|$ 在 $t \in [-6, 0]$ 上的最大值 $M(a)$，并求使 $M(a)$ 最小的 $a$ 值。

$h(t)$ 表示数轴上点 $t$ 到点 $a$ 的距离。在区间 $[-6, 0]$ 上，距离的最大值必然在端点处取得。
即 $M(a) = \max(|-6-a|, |0-a|) = \max(|a+6|, |a|)$。

我们要寻找 $a$ 使得 $M(a)$ 最小。
1. 若 $a < -3$，则 $|a| > 3$，且 $|a+6| < 3$（因为 $a$ 更接近 -6 还是 0？若 $a<-3$，则 $a$ 离 0 更远，离 -6 更近或相当。具体地，当 $a < -3$ 时，$-a > 3$，$a+6 < 3$。此时 $|a| > |a+6|$，故 $M(a) = |a| = -a$。由于 $a < -3$，$-a > 3$，所以 $M(a) > 3$。
2. 若 $a > -3$，则 $|a| < 3$（若 $a$ 接近0）或 $|a+6| > 3$。具体地，当 $a > -3$ 时，$a$ 离 0 更近，离 -6 更远。此时 $|a+6| > |a|$，故 $M(a) = |a+6| = a+6$。由于 $a > -3$，$a+6 > 3$，所以 $M(a) > 3$。
3. 若 $a = -3$，则 $|-3| = 3$，$|-3+6| = 3$。此时 $M(-3) = 3$。

综上，当 $a=-3$ 时，$M(a)$ 取得最小值 3。
故所求 $a$ 的值为 $-3$。