20．（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x} \cos x, g(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数．
（I）求 $f(x)$ 的单调区间；
（II）当 $x \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$ 时，证明 $f(x)+g(x)\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \geq 0$ ；
（III）设 $x_{n}$ 为函数 $u(x)=f(x)-1$ 在区间 $\left(2 n \pi+\frac{\pi}{4}, 2 n \pi+\frac{\pi}{2}\right)$ 内的零点，其中 $n \in \mathbf{N}$ ，证明 $2 n \pi+\frac{\pi}{2}-x_{n}<\frac{\mathrm{e}^{-2 n \pi}}{\sin x_{0}-\cos x_{0}}$.
Answer key
（I）单调递增区间为 $\left[2 k \pi-\frac{3 \pi}{4}, 2 k \pi+\frac{\pi}{4}\right](k \in \mathbf{Z}), f(x)$ 的单调递减区间为 $\left[2 k \pi+\frac{\pi}{4}, 2 k \pi+\frac{5 \pi}{4}\right](k \in \mathbf{Z})$ ．（II）见证明；（III）见证明