（本小题满分12分） 已知等差数列 a _ n 的公差为2…——2014 高考数学第 19 题答案解析

（Ⅰ）设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差 $d=2$。
由等差数列前 $n$ 项和公式可得：
$S_1 = a_1$
$S_2 = 2a_1 + \frac{2 \times 1}{2} d = 2a_1 + 2$
$S_4 = 4a_1 + \frac{4 \times 3}{2} d = 4a_1 + 12$

因为 $S_1, S_2, S_4$ 成等比数列，所以 $S_2^2 = S_1 S_4$，即：
$(2a_1 + 2)^2 = a_1 (4a_1 + 12)$
展开整理得：
$4a_1^2 + 8a_1 + 4 = 4a_1^2 + 12a_1$
$8a_1 + 4 = 12a_1$
$4a_1 = 4 \implies a_1 = 1$

故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为：
$a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + 2(n-1) = 2n - 1$

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 $a_n = 2n - 1$，则 $a_{n+1} = 2n + 1$。
代入 $b_n$ 的表达式：
$b_n = (-1)^{n-1} \frac{4n}{(2n-1)(2n+1)}$

利用裂项相消法处理分式部分：
$\frac{4n}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{(2n+1) + (2n-1)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n+1}$

所以：
$b_n = (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n+1} \right)$

求前 $n$ 项和 $T_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n$。
列出前几项观察规律：
$b_1 = 1 \cdot (\frac{1}{1} + \frac{1}{3}) = 1 + \frac{1}{3}$
$b_2 = -1 \cdot (\frac{1}{3} + \frac{1}{5}) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{5}$
$b_3 = 1 \cdot (\frac{1}{5} + \frac{1}{7}) = \frac{1}{5} + \frac{1}{7}$
$b_4 = -1 \cdot (\frac{1}{7} + \frac{1}{9}) = -\frac{1}{7} - \frac{1}{9}$
...

**情形 1：当 $n$ 为偶数时**
设 $n = 2k$ ($k \in \mathbb{N}^*$)。
$T_n = (1 + \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{7}) - \cdots - (\frac{1}{2n-3} + \frac{1}{2n-1}) + (\text{此处应为最后一项前的项，需仔细对应}) $
更严谨地分组求和：
$T_n = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + \cdots + b_{n-1} + b_n$
$T_n = (1 + \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{7}) - (\frac{1}{7} + \frac{1}{9}) + \cdots + (\frac{1}{2n-3} + \frac{1}{2n-1}) - (\frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n+1})$
中间项相互抵消：
$\frac{1}{3}$ 与 $-\frac{1}{3}$ 抵消，$-\frac{1}{5}$ 与 $\frac{1}{5}$ 抵消，以此类推。
剩余首项的 $1$ 和末项的 $-\frac{1}{2n+1}$。
即 $T_n = 1 - \frac{1}{2n+1} = \frac{2n+1-1}{2n+1} = \frac{2n}{2n+1}$。

**情形 2：当 $n$ 为奇数时**
设 $n = 2k-1$。
此时 $T_n = T_{n-1} + b_n$，其中 $n-1$ 为偶数。
由情形 1 可知 $T_{n-1} = \frac{2(n-1)}{2(n-1)+1} = \frac{2n-2}{2n-1}$。
而 $b_n = (-1)^{n-1} (\frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n+1})$。因为 $n$ 为奇数，$n-1$ 为偶数，$(-1)^{n-1}=1$。
所以 $b_n = \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n+1}$。
$T_n = \frac{2n-2}{2n-1} + \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n+1}$
$T_n = \frac{2n-1}{2n-1} + \frac{1}{2n+1} = 1 + \frac{1}{2n+1} = \frac{2n+1+1}{2n+1} = \frac{2n+2}{2n+1}$。

或者直接通过裂项相消观察奇数项结尾：
$T_n = (1 + \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{5}) + \cdots + (\frac{1}{2n-3} + \frac{1}{2n-1}) - (\frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n+1}) \dots$ 这种直接写容易乱，采用 $T_n = T_{n-1} + b_n$ 更稳妥。
若直接看奇数项求和展开：
$T_n = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \cdots - \frac{1}{2n-2} \dots$
最后剩下的是 $1 + \frac{1}{2n+1}$。
验证：
$n=1, T_1 = b_1 = 1 + 1/3 = 4/3$. 公式 $\frac{2(1)+2}{2(1)+1} = 4/3$. 正确。
$n=3, T_3 = 4/3 + b_2 + b_3 = 4/3 - (1/3+1/5) + (1/5+1/7) = 4/3 - 1/3 - 1/5 + 1/5 + 1/7 = 1 + 1/7 = 8/7$. 公式 $\frac{2(3)+2}{2(3)+1} = 8/7$. 正确。

综上所述：
$T_n = \begin{cases} \frac{2n}{2n+1}, & n \text{为偶数} \\ \frac{2n+2}{2n+1}, & n \text{为奇数} \end{cases}$