若实数</sub>x y, <sub>满足约束条件</su…——2019 高考数学第 3 题答案解析

首先确定不等式组表示的平面区域。联立边界直线方程求解交点：

1. 由 $\begin{cases} x - 3y + 4 = 0 \\ 3x - y - 4 = 0 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases}$，即交点 $A(2, 2)$。
2. 由 $\begin{cases} x - 3y + 4 = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} x = -1 \\ y = 1 \end{cases}$，即交点 $B(-1, 1)$。
3. 由 $\begin{cases} 3x - y - 4 = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \end{cases}$，即交点 $C(1, -1)$。

验证可知，可行域为以 $A(2, 2)$，$B(-1, 1)$，$C(1, -1)$ 为顶点的三角形区域（含边界）。

目标函数为 $z = 3x + 2y$。由于线性目标函数在凸多边形区域上的最值必在顶点处取得，分别计算各顶点处的 $z$ 值：
- 在点 $A(2, 2)$ 处，$z = 3 \times 2 + 2 \times 2 = 10$；
- 在点 $B(-1, 1)$ 处，$z = 3 \times (-1) + 2 \times 1 = -1$；
- 在点 $C(1, -1)$ 处，$z = 3 \times 1 + 2 \times (-1) = 1$。

比较可知，$z$ 的最大值为 10。