a_ n 为等差数列， b_ n = array l a_…——2023 高考数学第 18 题答案解析

设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。

由 $S_4=32$，得
\[ S_4=4a_1+6d=32. \]

又
\[ T_3=b_1+b_2+b_3=(a_1-6)+2(a_1+d)+(a_1+2d-6), \]
所以
\[ T_3=4a_1+4d-12=16. \]

联立
\[ \begin{cases} 4a_1+6d=32,\\ 4a_1+4d=28, \end{cases} \]
解得
\[ a_1=5,\quad d=2. \]
因此
\[ a_n=a_1+(n-1)d=5+2(n-1)=2n+3. \]

由 $a_n=2n+3$，得
\[ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2=\frac{n(5+2n+3)}2=n^2+4n. \]

同时
\[ b_n= \begin{cases} a_n-6=2n-3, & n\text{为奇数},\\[2mm] 2a_n=4n+6, & n\text{为偶数}. \end{cases} \]

当 $n$ 为偶数时，将相邻两项配对：
\[ b_{r-1}+b_r=[2(r-1)-3]+(4r+6)=6r+1, \]
其中 $r=2,4,\dots,n$。于是
\[ T_n=\sum_{k=1}^{n/2}(12k+1) =12\cdot \frac{\frac n2\left(\frac n2+1\right)}2+\frac n2 =\frac32n^2+\frac72n. \]
所以
\[ T_n-S_n=\left(\frac32n^2+\frac72n\right)-(n^2+4n) =\frac12n(n-1). \]
当 $n>5$ 时，$\frac12n(n-1)>0$，故 $T_n>S_n$。

当 $n$ 为奇数时，$n+1$ 为偶数，因此
\[ T_n=T_{n+1}-b_{n+1}. \]
由偶数情形所得公式，
\[ T_{n+1}=\frac32(n+1)^2+\frac72(n+1), \]
且
\[ b_{n+1}=4(n+1)+6=4n+10. \]
故
\[ T_n=\frac32(n+1)^2+\frac72(n+1)-(4n+10) =\frac32n^2+\frac52n-5. \]
于是
\[ T_n-S_n=\left(\frac32n^2+\frac52n-5\right)-(n^2+4n) =\frac12(n+2)(n-5). \]
当 $n>5$ 时，$\frac12(n+2)(n-5)>0$，故 $T_n>S_n$。

综上，当 $n>5$ 时，恒有
\[ T_n>S_n. \]