（10 分）如图，一粗细均匀的 U 形管竖直放置，A 侧上…——2015 高考物理第 14 题答案解析

（i）设 A 侧空气柱初始长度为 $l = 10.0 \text{ cm}$，压强为 $p$。
由题意知，初始时 B 侧水银面比 A 侧高 $h = 3.00 \text{ cm}$，且 B 侧通大气，故 A 侧气体压强：
$$ p = p_0 + h = 75.0 + 3.00 = 78.0 \text{ cmHg} $$

打开开关 K 放出部分水银后，设 A 侧空气柱长度变为 $l_1$，压强变为 $p_1$。
此时两侧水银面高度差为 $h_1 = 10.0 \text{ cm}$。由于放出水银后 A 侧气柱变长、压强减小，而外界大气压不变，故此时 B 侧水银面应低于 A 侧水银面（若 B 侧仍高于 A 侧，则 $p_1 > p_0$，气柱应缩短，与放水银矛盾）。
因此，末状态 A 侧气体压强：
$$ p_1 = p_0 - h_1 = 75.0 - 10.0 = 65.0 \text{ cmHg} $$

气体经历等温变化，根据玻意耳定律 $pV = C$，因管粗细均匀，体积与长度成正比，有：
$$ p l = p_1 l_1 $$
代入数据：
$$ 78.0 \times 10.0 = 65.0 \times l_1 $$
解得：
$$ l_1 = \frac{780}{65} = 12.0 \text{ cm} $$

（ii）再向 B 侧注入水银，使 A、B 两侧水银面达到同一高度。
设此时 A 侧空气柱长度为 $l_2$，压强为 $p_2$。
当两侧水银面等高时，A 侧气体压强等于大气压：
$$ p_2 = p_0 = 75.0 \text{ cmHg} $$

从初始状态到最终状态，气体同样经历等温变化，根据玻意耳定律：
$$ p l = p_2 l_2 $$
代入数据：
$$ 78.0 \times 10.0 = 75.0 \times l_2 $$
解得：
$$ l_2 = \frac{780}{75} = 10.4 \text{ cm} $$

接下来计算注入水银的长度 $\Delta h$。
我们考察从状态（i）（气柱长 $l_1=12.0 \text{ cm}$，B 侧液面比 A 侧低 $h_1=10.0 \text{ cm}$）到状态（ii）（气柱长 $l_2=10.4 \text{ cm}$，B 侧液面与 A 侧等高）的过程。

1. **A 侧液面变化**：气柱由 $l_1$ 压缩至 $l_2$，A 侧水银面上升的高度为：
$$ \Delta h_A = l_1 - l_2 = 12.0 - 10.4 = 1.6 \text{ cm} $$
2. **B 侧液面变化**：
* 在状态（i），B 侧液面位置相对于 A 侧初始参考平面（或任意固定参考点）较低。为了方便计算，设状态（i）时 A 侧液面高度为 $H_{A1}$，则 B 侧液面高度 $H_{B1} = H_{A1} - h_1$。
* 在状态（ii），A 侧液面高度变为 $H_{A2} = H_{A1} + \Delta h_A$。
* 此时 B 侧液面与 A 侧等高，即 $H_{B2} = H_{A2} = H_{A1} + \Delta h_A$。
* 因此，B 侧水银面上升的总高度为：
$$ \Delta h_B = H_{B2} - H_{B1} = (H_{A1} + \Delta h_A) - (H_{A1} - h_1) = \Delta h_A + h_1 $$
$$ \Delta h_B = 1.6 + 10.0 = 11.6 \text{ cm} $$
3. **注入水银长度**：
注入的水银填充了 A 侧上升占据的体积以及 B 侧上升增加的体积。由于管径均匀，注入长度等于两侧液面上升高度之和：
$$ \Delta h = \Delta h_A + \Delta h_B $$
$$ \Delta h = 1.6 + 11.6 = 13.2 \text{ cm} $$

或者使用几何关系公式：$\Delta h = 2(l_1 - l_2) + h_1 = 2(1.6) + 10.0 = 13.2 \text{ cm}$。