已知 a, b, c, d 为实数，且 a^ 2 +b^…——2017 高考数学第 24 题答案解析

**方法一：三角换元法**

由已知 $a^2+b^2=4$，可设 $a=2\cos\alpha, b=2\sin\alpha$ ($\alpha \in \mathbb{R}$)。
由已知 $c^2+d^2=16$，可设 $c=4\cos\beta, d=4\sin\beta$ ($\beta \in \mathbb{R}$)。

代入待证式左边：
$$ \begin{aligned} ac+bd &= (2\cos\alpha)(4\cos\beta) + (2\sin\alpha)(4\sin\beta) \\ &= 8(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) \\ &= 8\cos(\alpha-\beta) \end{aligned} $$

因为对于任意实数 $\theta$，都有 $\cos\theta \leqslant 1$，所以：
$$ 8\cos(\alpha-\beta) \leqslant 8 $$
即 $ac+bd \leqslant 8$。
当且仅当 $\alpha-\beta = 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)，即向量 $(a,b)$ 与 $(c,d)$ 同向时取等号。

**方法二：柯西不等式法**

根据柯西不等式 $(ac+bd)^2 \leqslant (a^2+b^2)(c^2+d^2)$，将已知条件代入：
$$ (ac+bd)^2 \leqslant 4 \times 16 = 64 $$
开方得：
$$ |ac+bd| \leqslant 8 $$
即：
$$ -8 \leqslant ac+bd \leqslant 8 $$
故 $ac+bd \leqslant 8$ 成立。
当且仅当 $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ (即 $ad=bc$) 且 $ac+bd > 0$ 时取等号。