（本小题满分 13 分） 设函数 f(x)= e^ x x…——2014 高考数学第 20 题答案解析

函数定义域为 $(0,+\infty)$。
对 $f(x)$ 求导：
$$ \begin{aligned} f^{\prime}(x) &= \left(\frac{e^{x}}{x^{2}}\right)^{\prime} - k\left(\frac{2}{x} + \ln x\right)^{\prime} \\ &= \frac{e^{x} \cdot x^{2} - e^{x} \cdot 2x}{x^{4}} - k\left(-\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x}\right) \\ &= \frac{e^{x}(x-2)}{x^{3}} + \frac{k(2-x)}{x^{2}} \\ &= \frac{(x-2)(e^{x}-kx)}{x^{3}} \end{aligned} $$

（I）当 $k \leq 0$ 时，由于 $x > 0$，则 $kx \leq 0$。
因为 $e^{x} > 0$，所以 $e^{x} - kx > 0$ 恒成立。
又 $x^{3} > 0$，故 $f^{\prime}(x)$ 的符号完全由 $x-2$ 决定。
令 $f^{\prime}(x) = 0$，解得 $x=2$。
当 $x \in (0, 2)$ 时，$x-2 < 0$，则 $f^{\prime}(x) < 0$，函数 $f(x)$ 单调递减；
当 $x \in (2, +\infty)$ 时，$x-2 > 0$，则 $f^{\prime}(x) > 0$，函数 $f(x)$ 单调递增。
综上，$f(x)$ 的单调递减区间为 $(0, 2)$，单调递增区间为 $(2, +\infty)$。

（II）若 $f(x)$ 在 $(0, 2)$ 内存在两个极值点，则方程 $f^{\prime}(x)=0$ 在 $(0, 2)$ 内有两个不相等的实根。
由（I）知 $f^{\prime}(x) = \frac{(x-2)(e^{x}-kx)}{x^{3}}$。
在区间 $(0, 2)$ 上，$x-2 \neq 0$ 且 $x^{3} \neq 0$，故 $f^{\prime}(x)=0$ 等价于 $e^{x}-kx=0$，即 $k = \frac{e^{x}}{x}$。
问题转化为：直线 $y=k$ 与曲线 $h(x) = \frac{e^{x}}{x}$ 在 $(0, 2)$ 内有两个不同的交点。
对 $h(x)$ 求导：
$$ h^{\prime}(x) = \frac{e^{x} \cdot x - e^{x}}{x^{2}} = \frac{e^{x}(x-1)}{x^{2}} $$
令 $h^{\prime}(x) = 0$，得 $x=1$。
当 $x \in (0, 1)$ 时，$h^{\prime}(x) < 0$，$h(x)$ 单调递减；
当 $x \in (1, 2)$ 时，$h^{\prime}(x) > 0$，$h(x)$ 单调递增。
所以 $h(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值，也是最小值，$h(1) = e$。
考察端点及极限情况：
当 $x \to 0^{+}$ 时，$h(x) \to +\infty$；
当 $x = 2$ 时，$h(2) = \frac{e^{2}}{2}$。
要使直线 $y=k$ 与 $h(x)$ 在 $(0, 2)$ 上有两个交点，需满足：
$$ h(1) < k < h(2) $$
即 $e < k < \frac{e^{2}}{2}$。
（注：若 $k \leq e$，无解或唯一解；若 $k \geq \frac{e^{2}}{2}$，在 $(0, 2)$ 内至多一个解。）
故 $k$ 的取值范围是 $\left(e, \frac{e^{2}}{2}\right)$。