2018_新课标II Paper
11．（12分）汽车A在水平冰雪路面上行驶，驾驶员发现其正前方停有汽车B，立即采取制动措施，但仍然撞上了汽车 B，两车碰撞时和两车都完全停止后的位置如图所示，碰撞后B 车向前滑动了4.5m，A车向前滑动了 2.0m，已知A和 B 的质量分别为 $2 . 0 \times 1 0 ^ { 3 } \mathsf { k g }$ 和 $1 . 5 \times 1 0 ^ { 3 } \mathsf { k g }$ ，两车与该冰雪路面间的动摩擦因数均为 0.10，两车碰撞时间极短，在碰撞后车轮均没有滚动，重力加速度大小 $\mathsf { g } { = } 1 0 \mathsf { m } / \mathsf { s } ^ { 2 }$ ，求：
（1）碰撞后的瞬间B车速度的大小；
（2）碰撞前的瞬间A车速度的大小。
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（1）设碰撞后瞬间 B 车的速度大小为 $v_B$。碰撞后 B 车在摩擦力作用下做匀减速直线运动直至停止，滑行距离 $x_B = 4.5 \text{ m}$。
根据动能定理，摩擦力做的功等于动能的变化量：
$$ -\mu m_B g x_B = 0 - \frac{1}{2} m_B v_B^2 $$
化简得：
$$ v_B = \sqrt{2 \mu g x_B} $$
代入数据 $\mu = 0.10, g = 10 \text{ m/s}^2, x_B = 4.5 \text{ m}$：
$$ v_B = \sqrt{2 \times 0.10 \times 10 \times 4.5} = \sqrt{9} = 3.0 \text{ m/s} $$
（2）设碰撞后瞬间 A 车的速度大小为 $v_A$。同理，A 车碰撞后滑行距离 $x_A = 2.0 \text{ m}$。
根据动能定理：
$$ -\mu m_A g x_A = 0 - \frac{1}{2} m_A v_A^2 $$
解得：
$$ v_A = \sqrt{2 \mu g x_A} = \sqrt{2 \times 0.10 \times 10 \times 2.0} = \sqrt{4} = 2.0 \text{ m/s} $$
设碰撞前瞬间 A 车的速度大小为 $v_0$，B 车静止。两车碰撞时间极短，内力远大于外力，系统动量守恒。取 A 车运动方向为正方向，根据动量守恒定律：
$$ m_A v_0 = m_A v_A + m_B v_B $$
代入数据 $m_A = 2.0 \times 10^3 \text{ kg}, m_B = 1.5 \times 10^3 \text{ kg}, v_A = 2.0 \text{ m/s}, v_B = 3.0 \text{ m/s}$：
$$ 2.0 \times 10^3 \times v_0 = 2.0 \times 10^3 \times 2.0 + 1.5 \times 10^3 \times 3.0 $$
消去 $10^3$ 并计算：
$$ 2 v_0 = 4.0 + 4.5 $$
$$ 2 v_0 = 8.5 $$
$$ v_0 = 4.25 \text{ m/s} $$
保留两位有效数字，得 $v_0 \approx 4.3 \text{ m/s}$。