（10分）等差数列 a _ n 中， a _ 7 = 4…——2013 高考数学第 17 题答案解析

（Ⅰ）设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。
由已知条件 $a_7 = 4$ 及 $a_{19} = 2a_9$，根据等差数列通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$，可得方程组：
$$ \begin{cases} a_1 + 6d = 4 \\ a_1 + 18d = 2(a_1 + 8d) \end{cases} $$
化简第二个方程得 $a_1 + 18d = 2a_1 + 16d$，即 $a_1 = 2d$。
将 $a_1 = 2d$ 代入第一个方程：
$$2d + 6d = 4 \implies 8d = 4 \implies d = \frac{1}{2}$$
从而 $a_1 = 2 \times \frac{1}{2} = 1$。
故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为：
$$a_n = 1 + (n-1) \times \frac{1}{2} = \frac{2 + n - 1}{2} = \frac{n+1}{2}$$

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 $a_n = \frac{n+1}{2}$，则：
$$b_n = \frac{1}{n a_n} = \frac{1}{n \cdot \frac{n+1}{2}} = \frac{2}{n(n+1)}$$
利用裂项相消法，将通项变形为：
$$b_n = 2 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$$
则数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 为：
$$ \begin{aligned} S_n &= b_1 + b_2 + \cdots + b_n \\ &= 2 \left[ \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \right] \\ &= 2 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) \\ &= 2 \cdot \frac{n}{n+1} \\ &= \frac{2n}{n+1} \end{aligned} $$