（12分）设函数f ( × ) = 1 ~ - ~ e ^…——2010 高考数学第 22 题答案解析

（Ⅰ）令 $g(x)=e^x-x-1$，则 $g'(x)=e^x-1$。当 $x<0$ 时 $g'(x)<0$，当 $x>0$ 时 $g'(x)>0$，所以 $g(x)\ge g(0)=0$，即 $e^x\ge1+x$。

若 $x>-1$，则 $x+1>0$。由 $e^x\ge1+x$ 得 $1\ge(x+1)e^{-x}$，于是
$1-e^{-x}\ge\dfrac{x}{x+1}$，
即 $f(x)\ge\dfrac{x}{x+1}$。

（Ⅱ）当 $x\ge0$ 时，$f(x)=1-e^{-x}\ge0$。

若 $a<0$，取 $x>-\dfrac1a$，则 $ax+1<0$，故 $\dfrac{x}{ax+1}<0$，而 $f(x)>0$，不等式不能对一切 $x\ge0$ 成立。因此必须有 $a\ge0$。

当 $a\ge0$ 时，$ax+1>0$，原不等式等价于
$H(x)=(ax+1)f(x)-x\le0$。
又 $H(0)=0$，且 $f'(x)=e^{-x}=1-f(x)$，所以
$H'(x)=af(x)+(ax+1)f'(x)-1=ax+(a-1)f(x)-axf(x)$。

若 $0\le a\le\dfrac12$，由（Ⅰ）知 $x\le(x+1)f(x)$。于是
$H'(x)=af(x)-axf(x)+ax-f(x)$
$\le af(x)-axf(x)+a(x+1)f(x)-f(x)$
$=(2a-1)f(x)\le0$。
因此 $H(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，$H(x)\le H(0)=0$，原不等式成立。

若 $a>\dfrac12$，由 $e^{-x}\ge1-x$ 可得，当 $x\ge0$ 时 $f(x)\le x$。当 $0<x<\dfrac{2a-1}{a}$ 时，
$H'(x)=af(x)-axf(x)+ax-f(x)$
$\ge af(x)-axf(x)+af(x)-f(x)$
$=(2a-1-ax)f(x)>0$。
因此 $H(x)>H(0)=0$，与要求矛盾。

综上，$a$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac12\right]$。