（Ⅰ）证明：
因为 $A_1$ 在平面 $ABC$ 内的射影 $D$ 在 $AC$ 上，所以 $A_1D \perp$ 平面 $ABC$。
又 $A_1D \subset$ 平面 $AA_1C_1C$，所以平面 $AA_1C_1C \perp$ 平面 $ABC$。
因为平面 $AA_1C_1C \cap$ 平面 $ABC = AC$，且 $BC \perp AC$，$BC \subset$ 平面 $ABC$，
所以 $BC \perp$ 平面 $AA_1C_1C$。
因为 $AC_1 \subset$ 平面 $AA_1C_1C$，所以 $BC \perp AC_1$。
在侧面 $AA_1C_1C$ 中，因为 $AC = CC_1 = 2$，且为平行四边形，所以四边形 $AA_1C_1C$ 为菱形。
根据菱形性质，对角线互相垂直，即 $AC_1 \perp A_1C$。
又 $A_1C \cap BC = C$，$A_1C, BC \subset$ 平面 $A_1BC$，
所以 $AC_1 \perp$ 平面 $A_1BC$。
因为 $A_1B \subset$ 平面 $A_1BC$，
所以 $AC_1 \perp A_1B$。
（Ⅱ）解：
由（Ⅰ）知 $BC \perp$ 平面 $AA_1C_1C$，且 $BC \subset$ 平面 $BCC_1B_1$，
所以平面 $BCC_1B_1 \perp$ 平面 $AA_1C_1C$，交线为 $CC_1$。
在平面 $AA_1C_1C$ 内作 $A_1E \perp CC_1$ 于 $E$，则 $A_1E \perp$ 平面 $BCC_1B_1$。
因为 $AA_1 \parallel CC_1$，$CC_1 \subset$ 平面 $BCC_1B_1$，所以 $AA_1 \parallel$ 平面 $BCC_1B_1$。
故 $A_1E$ 的长度即为直线 $AA_1$ 与平面 $BCC_1B_1$ 的距离，即 $A_1E = \sqrt{3}$。
在菱形 $AA_1C_1C$ 中，对角线 $A_1C$ 平分 $\angle ACC_1$。
根据角平分线性质，点 $A_1$ 到 $AC$ 的距离等于点 $A_1$ 到 $CC_1$ 的距离，
即 $A_1D = A_1E = \sqrt{3}$。
在 Rt$\triangle A_1DA$ 中，$AA_1 = CC_1 = 2$，$A_1D = \sqrt{3}$，
所以 $AD = \sqrt{AA_1^2 - A_1D^2} = \sqrt{4-3} = 1$。
因为 $AC=2$，所以 $D$ 为 $AC$ 的中点。
过 $D$ 作 $DF \perp AB$ 于 $F$，连接 $A_1F$。
因为 $A_1D \perp$ 平面 $ABC$，$AB \subset$ 平面 $ABC$，所以 $A_1D \perp AB$。
又 $DF \perp AB$，$A_1D \cap DF = D$，
所以 $AB \perp$ 平面 $A_1DF$。
因为 $A_1F \subset$ 平面 $A_1DF$，所以 $AB \perp A_1F$。
故 $\angle A_1FD$ 为二面角 $A_1-AB-C$ 的平面角。
在 Rt$\triangle ABC$ 中，$AC=2, BC=1$，所以 $AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{5}$。
因为 $DF \perp AB$，$\angle C = 90^\circ$，$\angle A$ 公共，
所以 $\triangle ADF \sim \triangle ABC$。
$\frac{DF}{BC} = \frac{AD}{AB} \Rightarrow DF = \frac{AD \cdot BC}{AB} = \frac{1 \times 1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
在 Rt$\triangle A_1DF$ 中，$\tan \angle A_1FD = \frac{A_1D}{DF} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \sqrt{15}$。
所以二面角 $A_1-AB-C$ 的大小为 $\arctan\sqrt{15}$。
