已知随圆 E: x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2…——2023 高考数学第 19 题答案解析

（1）因为 $A,C$ 是椭圆的上、下顶点，且 $|AC|=4$，所以 $2b=4$，即 $b=2$。设半焦距为 $c$，由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt5}{3}$，得 $c^2=\frac59a^2$。又 $a^2-c^2=b^2=4$，所以 $a^2-\frac59a^2=4$，解得 $a^2=9$。故椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$。

（2）由（1）得 $A(0,2),C(0,-2),B(-3,0),D(3,0)$。设 $P(m,n)$，其中 $0<m<3,0<n<2$，则 $\frac{m^2}{9}+\frac{n^2}{4}=1$，即 $4m^2+9n^2=36$。

直线 $BC$ 的方程为 $y=-\frac23x-2$。直线 $PD$ 的方程为 $y=\frac{n}{m-3}(x-3)$。设 $M(x_M,y_M)$，联立得
$\frac{n}{m-3}(x_M-3)=-\frac23x_M-2$。
整理得 $(3n+2m-6)x_M=9n-6m+18$，所以
$x_M=\frac{3(3n-2m+6)}{3n+2m-6}$。
又 $M$ 在 $BC$ 上，所以 $y_M=-\frac23x_M-2$。

直线 $PA$ 的方程为 $y=\frac{n-2}{m}x+2$。令 $y=-2$，得 $N$ 的横坐标
$x_N=\frac{-4m}{n-2}=\frac{4m}{2-n}$。

下面证明 $x_N=2x_M$。由 $0<n<2$，且令 $u=2m,v=3n$，则 $u^2+v^2=36$，$u,v>0$，故 $u+v>6$，即 $3n+2m-6>0$。利用 $4m^2+9n^2=36$，有
$4m(3n+2m-6)-6(2-n)(3n-2m+6)$
$=12mn+8m^2-24m-(-24m+72-18n^2+12mn)$
$=8m^2+18n^2-72=2(4m^2+9n^2-36)=0$。
因此
$\frac{4m}{2-n}=\frac{6(3n-2m+6)}{3n+2m-6}=2x_M$，
即 $x_N=2x_M$。

于是
$k_{MN}=\frac{-2-y_M}{x_N-x_M}=\frac{-2-\left(-\frac23x_M-2\right)}{2x_M-x_M}=\frac{\frac23x_M}{x_M}=\frac23$。
而 $k_{CD}=\frac{0-(-2)}{3-0}=\frac23$，所以 $k_{MN}=k_{CD}$。又 $N$ 在 $y=-2$ 上且 $x_N>0$，而 $CD$ 与 $y=-2$ 只交于 $C(0,-2)$，故 $MN$ 与 $CD$ 不重合，因此 $MN\parallel CD$。