如图，在三棱柱 A B C - A _ 1 B _ 1 C…——2023 高考数学第 18 题答案解析

（1）因为 $A_1C \perp$ 平面 $ABC$，且 $BC \subset$ 平面 $ABC$，所以 $A_1C \perp BC$。
又因为 $\angle ACB = 90^\circ$，即 $AC \perp BC$。
由于 $A_1C \cap AC = C$，且 $A_1C, AC \subset$ 平面 $ACC_1A_1$，
所以 $BC \perp$ 平面 $ACC_1A_1$。
又因为 $BC \subset$ 平面 $BB_1C_1C$，
所以平面 $ACC_1A_1 \perp$ 平面 $BB_1C_1C$。

（2）在三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，侧棱 $AA_1 \parallel CC_1$ 且 $AA_1 = CC_1 = 2$。
由（1）知 $BC \perp$ 平面 $ACC_1A_1$，而 $AC, A_1C \subset$ 平面 $ACC_1A_1$，故 $BC \perp AC$，$BC \perp A_1C$。
在 Rt$\triangle ABC$ 和 Rt$\triangle A_1BC$ 中，
$AB^2 = AC^2 + BC^2$，$A_1B^2 = A_1C^2 + BC^2$。
已知 $AB = A_1B$，所以 $AC^2 + BC^2 = A_1C^2 + BC^2$，即 $AC = A_1C$。
因为 $A_1C \perp$ 平面 $ABC$，且 $AC \subset$ 平面 $ABC$，所以 $A_1C \perp AC$。
在 Rt$\triangle A_1CA$ 中，$A_1C^2 + AC^2 = AA_1^2$。
设 $AC = A_1C = x$，则 $2x^2 = 2^2 = 4$，解得 $x = \sqrt{2}$。
即 $A_1C_1 = AC = \sqrt{2}$（三棱柱上下底面全等）。
要求四棱锥 $A_1-BB_1C_1C$ 的高，即求点 $A_1$ 到平面 $BB_1C_1C$ 的距离。
由（1）知平面 $ACC_1A_1 \perp$ 平面 $BB_1C_1C$，交线为 $CC_1$。
在平面 $ACC_1A_1$ 内，过点 $A_1$ 作 $A_1O \perp CC_1$ 于点 $O$，则 $A_1O \perp$ 平面 $BB_1C_1C$。
故线段 $A_1O$ 的长度即为所求的高。
在侧面平行四边形 $ACC_1A_1$ 中，因 $AC=A_1C=\sqrt{2}$ 且 $\angle A_1CA=90^\circ$，
实际上 $\triangle A_1CC_1$ 中，$A_1C_1 = \sqrt{2}, CC_1 = 2$。
我们需要确定 $O$ 的位置或直接计算 $A_1O$。
注意到 $\triangle A_1CA$ 是等腰直角三角形，$\angle A_1AC = 45^\circ$。
因为 $AA_1 \parallel CC_1$，所以 $\angle A_1CC_1 + \angle AA_1C = 180^\circ$（同旁内角互补，或者利用向量/坐标更直观）。
让我们建立空间直角坐标系来严谨求解 $A_1O$：
以 $C$ 为原点，$CA, CB, CA_1$ 所在直线分别为 $x, y, z$ 轴。
则 $C(0,0,0)$，$A(\sqrt{2}, 0, 0)$，$A_1(0, 0, \sqrt{2})$。
$\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = (-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2})$。
平面 $BB_1C_1C$ 即平面 $BCC_1$。
$B$ 在 $y$ 轴上，设 $B(0, b, 0)$。
平面 $BCC_1$ 的法向量 $\vec{n}$ 需垂直于 $\vec{CB}=(0,b,0)$ 和 $\vec{CC_1}=(-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2})$。
易取 $\vec{n} = (1, 0, 1)$。
点 $A_1(0, 0, \sqrt{2})$ 到平面 $BCC_1$（过原点，方程为 $x+z=0$）的距离为：
$h = \frac{|1\times0 + 0\times0 + 1\times\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$。

或者用几何法：
在平面 $ACC_1A_1$ 中，$A_1C \perp AC$，$AC=A_1C=\sqrt{2}$。
$CC_1 \parallel AA_1$。
$\triangle A_1CA$ 为等腰直角三角形，$\angle CA_1A = 45^\circ$。
因为 $CC_1 \parallel AA_1$，所以 $\angle A_1CC_1 = \angle CA_1A = 45^\circ$（内错角相等？不，$AC$与$CC_1$夹角需细看）。
向量 $\vec{CA}=(\sqrt{2},0,0)$，$\vec{CC_1}=(-\sqrt{2},0,\sqrt{2})$。
$\cos \langle \vec{CA}, \vec{CC_1} \rangle = \frac{-2}{\sqrt{2}\cdot 2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，夹角 $135^\circ$。
$\vec{CA_1}=(0,0,\sqrt{2})$，$\vec{CC_1}=(-\sqrt{2},0,\sqrt{2})$。
$\cos \langle \vec{CA_1}, \vec{CC_1} \rangle = \frac{2}{\sqrt{2}\cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，夹角 $45^\circ$。
所以在 $\triangle A_1CO$（$O$为垂足）中，$\angle A_1CO = 45^\circ$，$\angle A_1OC = 90^\circ$。
$A_1O = A_1C \cdot \sin 45^\circ = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$。

故四棱锥 $A_1-BB_1C_1C$ 的高为 1。