（本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)= x , g…——2010 高考数学第 20 题答案解析

（I）由 $f(x)=\sqrt{x}$，$g(x)=a \ln x$ ($x>0$)，求导得：
$$ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad g'(x)=\frac{a}{x} $$
设两曲线在点 $(x_0, y_0)$ 处相交且有公切线，则满足：
$$ \begin{cases} f(x_0)=g(x_0) \\ f'(x_0)=g'(x_0) \end{cases} \implies \begin{cases} \sqrt{x_0}=a \ln x_0 \quad \cdots ① \\ \frac{1}{2\sqrt{x_0}}=\frac{a}{x_0} \quad \cdots ② \end{cases} $$
由②式变形得 $\sqrt{x_0}=2a$，即 $x_0=4a^2$。
将 $x_0=4a^2$ 代入①式：
$$ 2a = a \ln(4a^2) $$
若 $a=0$，则 $x_0=0$，但 $\ln x$ 定义域为 $x>0$，故 $a \neq 0$。
两边除以 $a$ 得 $2 = \ln(4a^2) = 2\ln(2|a|)$，即 $\ln(2|a|)=1$，解得 $2|a|=e$。
因为 $x_0=4a^2>0$ 且由②知 $a$ 与 $\sqrt{x_0}$ 同号（$x>0$时$\sqrt{x}>0$，故$a>0$），所以 $a=\frac{e}{2}$。
此时交点横坐标 $x_0 = 4(\frac{e}{2})^2 = e^2$，纵坐标 $y_0 = \sqrt{e^2} = e$。
切线斜率 $k = f'(e^2) = \frac{1}{2\sqrt{e^2}} = \frac{1}{2e}$。
切线方程为 $y-e = \frac{1}{2e}(x-e^2)$，整理得 $x-2ey+e^2=0$。

（II）$h(x) = \sqrt{x} - a \ln x$ ($x>0$)，求导得：
$$ h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{a}{x} = \frac{\sqrt{x}-2a}{2x} $$
1. 当 $a \le 0$ 时，由于 $x>0$，$\sqrt{x}>0$，$-2a \ge 0$，故 $h'(x) > 0$ 恒成立。
此时 $h(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，无最小值，不合题意。
2. 当 $a > 0$ 时，令 $h'(x)=0$，解得 $\sqrt{x}=2a$，即 $x=4a^2$。
当 $x \in (0, 4a^2)$ 时，$\sqrt{x} < 2a$，$h'(x) < 0$，$h(x)$ 单调递减；
当 $x \in (4a^2, +\infty)$ 时，$\sqrt{x} > 2a$，$h'(x) > 0$，$h(x)$ 单调递增。
故 $h(x)$ 在 $x=4a^2$ 处取得最小值。
最小值为：
$$ \varphi(a) = h(4a^2) = \sqrt{4a^2} - a \ln(4a^2) = 2a - a(2\ln 2 + 2\ln a) = 2a(1 - \ln 2 - \ln a) = 2a(1 - \ln 2a) $$
综上，$\varphi(a) = 2a(1 - \ln 2a)$，其中 $a>0$。

（III）由（II）知 $\varphi(a) = 2a(1 - \ln 2a)$，$a \in (0, +\infty)$。
对 $\varphi(a)$ 求导：
$$ \varphi'(a) = 2(1 - \ln 2a) + 2a \cdot \left(-\frac{1}{2a} \cdot 2\right) = 2 - 2\ln 2a - 2 = -2\ln 2a $$
令 $\varphi'(a) = 0$，即 $\ln 2a = 0$，解得 $2a=1$，即 $a=\frac{1}{2}$。
当 $a \in (0, \frac{1}{2})$ 时，$0 < 2a < 1$，$\ln 2a < 0$，$\varphi'(a) > 0$，$\varphi(a)$ 单调递增；
当 $a \in (\frac{1}{2}, +\infty)$ 时，$2a > 1$，$\ln 2a > 0$，$\varphi'(a) < 0$，$\varphi(a)$ 单调递减。
因此，$\varphi(a)$ 在 $a=\frac{1}{2}$ 处取得最大值。
最大值为 $\varphi(\frac{1}{2}) = 2 \times \frac{1}{2} (1 - \ln(2 \times \frac{1}{2})) = 1 \cdot (1 - \ln 1) = 1$。
故对于任意 $a \in (0, +\infty)$，都有 $\varphi(a) \le \varphi(\frac{1}{2}) = 1$，即 $\varphi(a) \le 1$ 得证。