(1) 将点 $A(1, 2)$ 和 $B(-1, 0)$ 的坐标分别代入直线方程 $x + y - 1$ 的左侧表达式。
对于点 $A$，得 $1 + 2 - 1 = 2$；
对于点 $B$，得 $-1 + 0 - 1 = -2$。
计算 $\eta = 2 \times (-2) = -4$。
因为 $\eta < 0$，根据定义，点 $A, B$ 被直线 $x + y - 1 = 0$ 分割。
(2) 若直线 $y = kx$ 是曲线 $x^2 - 4y^2 = 1$ 的分割线，需满足两个条件：
① 直线与曲线无公共点；
② 曲线上存在两点被该直线分割。
首先联立方程组：
$$
\begin{cases}
x^2 - 4y^2 = 1 \\
y = kx
\end{cases}
$$
消去 $y$ 得 $x^2 - 4(kx)^2 = 1$，即 $(1 - 4k^2)x^2 = 1$。
要使直线与曲线无公共点，上述关于 $x$ 的方程应无实数解。
当 $1 - 4k^2 \le 0$ 时，方程左边非正（或为零），右边为 $1$，显然无解。
解不等式 $1 - 4k^2 \le 0$，得 $k^2 \ge \frac{1}{4}$，即 $k \le -\frac{1}{2}$ 或 $k \ge \frac{1}{2}$。
其次验证分割条件。双曲线 $x^2 - 4y^2 = 1$ 分为左右两支。
取左支上一点 $P_1(-1, 0)$，右支上一点 $P_2(1, 0)$。
代入直线方程 $kx - y = 0$ 的左侧表达式：
$\eta = (k \cdot (-1) - 0)(k \cdot 1 - 0) = -k^2$。
当 $k \neq 0$ 时，$\eta = -k^2 < 0$，说明这两点被直线分割。
而在 $k \le -\frac{1}{2}$ 或 $k \ge \frac{1}{2}$ 的范围内，$k \neq 0$ 恒成立。
故实数 $k$ 的取值范围是 $(-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}, +\infty)$。
(3) 设动点 $M(x, y)$。由题意知 $|MQ| \cdot |x| = 1$，其中 $Q(0, 2)$。
即 $\sqrt{x^2 + (y-2)^2} \cdot |x| = 1$。
两边平方整理得曲线 $E$ 的方程：$x^2 [x^2 + (y-2)^2] = 1$。
显然 $x \neq 0$，否则方程左边为 $0$，右边为 $1$，矛盾。
考虑过原点的直线：
情形一：直线斜率不存在，即直线为 $y$ 轴 ($x=0$)。
由上可知，曲线 $E$ 上任意点的横坐标 $x \neq 0$，故直线 $x=0$ 与曲线 $E$ 无公共点。
取曲线 $E$ 上两点：令 $y=2$，代入方程得 $x^2 \cdot x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$。
即点 $P_1(1, 2)$ 和 $P_2(-1, 2)$ 在曲线 $E$ 上。
将这两点代入 $x=0$ 的左侧表达式（即 $x$）：$\eta = 1 \times (-1) = -1 < 0$。
所以 $P_1, P_2$ 被直线 $x=0$ 分割。
综上，直线 $x=0$ 是曲线 $E$ 的一条分割线。
情形二：直线斜率存在，设直线方程为 $y = kx$。
将其代入曲线 $E$ 的方程：
$x^2 [x^2 + (kx - 2)^2] = 1$
$x^2 [x^2 + k^2x^2 - 4kx + 4] = 1$
$(1+k^2)x^4 - 4kx^3 + 4x^2 - 1 = 0$
令 $f(x) = (1+k^2)x^4 - 4kx^3 + 4x^2 - 1$。
考察函数值：
$f(0) = -1 < 0$。
$f(1) = (1+k^2) - 4k + 4 - 1 = k^2 - 4k + 4 = (k-2)^2 \ge 0$。
$f(-1) = (1+k^2) + 4k + 4 - 1 = k^2 + 4k + 4 = (k+2)^2 \ge 0$。
若 $k \neq 2$，则 $f(1) > 0$。因为 $f(0) < 0$，由零点存在性定理，在区间 $(0, 1)$ 内必存在实根 $x_0$，使得 $f(x_0)=0$。这意味着直线 $y=kx$ 与曲线 $E$ 有公共点。
若 $k = 2$，则 $f(1) = 0$，此时 $x=1$ 即为公共点。
（注：即使 $k=-2$，也有 $f(-1)=0$，存在公共点）。
因此，对于任意实数 $k$，直线 $y=kx$ 与曲线 $E$ 至少有一个公共点。
根据分割线的定义（必须与曲线没有公共点），所有斜率存在的过原点直线都不是曲线 $E$ 的分割线。
综上所述，通过原点的直线中，有且仅有一条直线 $x=0$ 是曲线 $E$ 的分割线。