2020_新课标I Paper
11．（12 分）我国自主研制了运﹣20重型运输机。飞机获得的升力大小F可用 $\mathrm { F } { = } \mathrm { k v } ^ { 2 }$ 描写，k为系数；v是飞机在平直跑道上的滑行速度，F与飞机所受重力相等时的v称为飞机的起飞离地速度。已知飞机质量为 $1 . 2 1 \times 1 0 ^ { 5 } \mathrm { k g }$ 时，起飞离地速度为66m/s；装载货物后质量为 $1 . 6 9 \times 1 0 ^ { 5 } \mathrm { k g }$ ，装载货物前后起飞离地时的k值可视为不变。
（1）求飞机装载货物后的起飞离地速度；
（2）若该飞机装载货物后，从静止开始匀加速滑行 1521m 起飞离地，求飞机在滑行过程中加速度的大小和所用的时间。
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（1）设飞机装载货物前的质量为 $m_1$，起飞离地速度为 $v_1$；装载货物后的质量为 $m_2$，起飞离地速度为 $v_2$。
根据题意，飞机起飞离地时升力等于重力，即 $F = mg$。
由升力公式 $F = kv^2$ 可得：
对于装载前：$k v_1^2 = m_1 g$ ①
对于装载后：$k v_2^2 = m_2 g$ ②
由于 $k$ 值不变，联立 ①② 两式可得：
$\frac{v_2^2}{v_1^2} = \frac{m_2}{m_1}$
解得：
$v_2 = v_1 \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$
代入数据 $m_1 = 1.21 \times 10^5 \mathrm{kg}$，$m_2 = 1.69 \times 10^5 \mathrm{kg}$，$v_1 = 66 \mathrm{m/s}$：
$v_2 = 66 \times \sqrt{\frac{1.69 \times 10^5}{1.21 \times 10^5}} = 66 \times \sqrt{\frac{1.69}{1.21}} = 66 \times \frac{1.3}{1.1} = 66 \times \frac{13}{11} = 78 \mathrm{m/s}$
（2）飞机装载货物后从静止开始做匀加速直线运动。
已知初速度 $v_0 = 0$，末速度 $v = v_2 = 78 \mathrm{m/s}$，位移 $x = 1521 \mathrm{m}$。
根据匀变速直线运动的速度位移公式 $v^2 - v_0^2 = 2ax$，可得加速度大小：
$a = \frac{v_2^2}{2x} = \frac{78^2}{2 \times 1521} = \frac{6084}{3042} = 2 \mathrm{m/s^2}$
根据速度时间公式 $v = v_0 + at$，可得所用时间：
$t = \frac{v_2}{a} = \frac{78}{2} = 39 \mathrm{s}$